2.2 导数的概念及其几何意义3种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

2.2 导数的概念及其几何意义3种常见考法归类 课程标准 学习目标 通过函数图象直观理解导数的几何意义． 1.理解导数的概念及其几何意义．(数学抽象) 2．会求导数及理解导数的实际意义．(数学运算、数学抽象) 3．会求曲线的切线方程．(数学运算) 知识点01导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝. 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝= 【即学即练1】（2024高二课堂练习）设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 【即学即练2】（2024高二课堂练习）已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值： （1） ； （2） 【即学即练3】（2024高二课堂练习）已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 知识点02　割线的定义 函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 【即学即练4】（2023下·高二课时练习）过曲线上两点和作曲线的割线，当时割线的斜率为（    ） A． B．3 C．1 D． 【即学即练5】（2023上·高二课时练习）函数的图像如图所示．    (1)求割线PQ的斜率； (2)当点Q沿曲线向点P运动时，割线PQ的斜率会变大还是变小？ 知识点03　切线的定义 当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线． 【即学即练6】（2024高二课堂练习）下列说法正确的是（ ）． A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点 B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若不存在，则曲线在点处无切线 D．若曲线在点处有切线，则不一定存在 知识点04　导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 【即学即练7】（2024高二课堂练习）设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 【即学即练8】（2024高二课堂练习）如图所示，函数的图象在点P处的切线方程为，则_____． 题型一：在某一点处导数的实际意义 例1.（2023·全国·高二随堂练习）设x（单位：km）表示从一条河流的某一处到其源头的距离，y（单位：km）表示这一点的海拔高度，y与x的函数关系为．若函数在处的导数，试解释它的实际意义． 变式1．（2023·全国·高二课堂例题）在初速度为零的匀加速直线运动中，路程s和时间t的关系为． (1)求s关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义； (2)求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义． 变式2．（2023上·高二课时练习）某水管的流水量y（单位：）与时间t（单位：s）满足函数关系，其中． (1)求在处的导数； (2)的实际意义是什么？ (3)随着a的取值变化，是否发生变化？为什么？ 变式3．（2023·全国·高二随堂练习）已知物体运动的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系为．求该函数在下列各点处的导数，并解释它们的实际意义： (1)； (2)； (3)． 【方法技巧与总结】 结合实例，明确在实际问题中导数的含义以及需要用导数概念来理解的量． 题型二：求函数在某点处的导数 例2.（2024高二课堂练习）设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝________. 变式1.（2024高二课堂练习）设函数的导函数为，若，则等于（ ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 变式2.（2024高二课堂练习）已知函数在处的导数为，则 等于（ ） A． B． C． D． 变式3.（2024高二课堂练习）对于函数y＝f(x)＝，其导数值等于函数值的点是________． 变式4.【多选】（2024高二课堂练习）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法 (1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求＝； (3)当Δx趋