2.2.2导数的几何意义课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

导数的几何意义 我们学习了函数在某区间上的平均变化率，它的几何意义是什么呢？ 几何意义为割线的斜率，反映了直线的“陡峭”程度．近似地刻画了曲线在这一区间上的变化趋势． P Q O x y 有些时候我们需要研究曲线上某一点处的变化趋势，比如我们熟悉的幂函数，如图，这些幂函数在[0，1]区间上的平均变化率是相同的，但是在点P(1，1)处的变化趋势是相同的吗？ O x y 不同的幂函数，在点P(1，1)处的变化趋势是相同的． P １ １ 怎样在图形中表示由平均变化率到瞬时变化率？ O x y 如图，设Q为曲线C上不同于点P的一点，则直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为点P处最逼近曲线的直线l，这时直线l称为曲线在点P处的切线． P Q M 对于一般的曲线C，如抛物线f (x)＝x2，如何定义它在某一点，如P0 (1，1)处的切线呢？ O x y 如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ 不一定． 例如，二次函数f (x)＝x2的图象和直线x＝1只有一个交点，但它们显然不相切． 如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 不一定．例如，正弦函数f (x)＝sinx的图象和直线y＝1相切，但它们显然不止一个交点． O x y 不能再像在研究直线和圆的位置关系时那样，通过交点个数来定义相切． 对于抛物线f (x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线的切线呢？ 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线，我们在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线的割线P0 P的变化情况． 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线． 这样，我们得到抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线的含义．从几何 上看，抛物线在点P0的切线，是由过这一点的割线P0P，当P无限接近P0时的极限位置确定的． 我们知道，斜率是确定直线的一个要素．在已知切点的情况下，如果我们再能确定切线的斜率，就能确定切线的方程． O x y 由导函数的定义可知，曲线上一点处切线的斜率就是曲线对应的函数在这一点的导数，可以通过割线的斜率逼近切线的斜率． 曲线上一点处切线的斜率与导数是什么关系？ 在曲线上怎样反映出从平均变化率到瞬时变化率？ 点沿着曲线向点无限靠近时，也就是说．即：切线的斜率为，那么当，． 函数y=f (x)在处的导数，是曲线y=f (x)在点处的切线的斜率．函数y=f (x)在处切线的斜率反映了导数的几何意义． 已知函数及自变量． (1)分别对求在区间上的平均变化率，并画出过点的相应割线； 解：(1)当时，区间相应为，，，在这些区间上的平均变化率分别为： ，， ． 如图，其相应割线分别是经过点和点的直线， 经过点和点的直线，经过点和 点的直线． 9 (2)求函数在处的导数，并画出曲线在点处的切线． 解：(2)在区间上的平均变化率为 ． 令趋于，可知函数在处的导数为． 因此，曲线在点处的切线为经过点， 斜率为的直线． 10 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 选 A 已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标． 解：设切点P(m，n)，切线斜率为k， 由y′＝＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x， 得k＝y′|x＝m＝4m. 由题意可知4m＝8，∴m＝2. 代入y＝2x2－7得n＝1. 故所求切点P为(2，1)． 1.切线的定义：设Q为曲线C上不同于点P的一点，则直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为点P处最逼近曲线的直线l，这时直线l称为曲线在点P处的切线． 2.导数的几何意义： 函数y=f (x)在处的导数，是曲线y=f (x)在点处的切线的斜率．函数y=f (x)在处切线的斜率反映了导数的几何意义． （环节四）总结升华 平均变化率 瞬时变化率 的导数 割线的斜率 切线的斜率 切线方程 数 形 导函数 数形结合 应用 以直代曲 曲线的变化趋势 逼近 导数的 几何意义 谢谢观看！ 做在本子上，第二天交 1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在　 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 2．抛物线y＝2x2在点P(1,2)处的切线l的斜率为______． 3.函数f（x）的图象如图所示，f(（x）为函数f（x）的导函数，比较f (（2）、f (（3）、f（3）- f（2）的大小关系为 $$