2024年广东省数学中考专题复习：二次函数综合题

2024年广东中考专题复习：二次函数综合题 一．三角形存在性问题（共3小题） 1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），连接AB，P（m，n）为抛物线AB部分上一动点（可与A，B两点重合），过点P作PN⊥x轴交直线AB于点M，交x轴于点N． （1）求抛物线和直线AB的解析式． （2）①求线段PM的最大值． ②连接OM，当△OBM为等腰三角形时，求m的值． 3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于此抛物线对称轴的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标； （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 二．平行四边形存在性问题（共6小题） 4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣2），B（2，0），点C为抛物线与x轴的另一交点． （1）求该抛物线的解析式． （2）如图1，点D在线段OB上（点D与点O，B不重合），过点D作DE∥AB，交直线AC于点E，设OD的长为m，△CDE的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围． （3）如图2，在（2）的条件下，过点D作DF∥y轴，交抛物线于点F，过点F作FG∥x轴，交直线AB于点G，是否存在点D使得四边形FGDB为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点D的坐标． 5．已知点P（m，n）在函数的图象上． （1）若m＝﹣2，求n的值； （2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E． ①m为何值时，点E到x轴的距离为； ②若，平面内是否存在点F，使得以点M、N、G、F为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点F的坐标（不用说明理由）． 6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC于点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？ （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． 7．已知抛物线G：y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P（0，t）（﹣1≤t≤2）为y轴上一动点，过点P作y轴的垂线交抛物线G于点M、N（M与N不重合）． （1）求点C的纵坐标（用含a的式子表示）； （2）当a＜0时，若，求抛物线G的纵坐标在4a≤x≤4a+5时的取值范围； （3）对于a（a≠0）的每一个确定的值，MN有最小值m，若m≤2，求a的取值范围． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知直线y＝x+1与抛物线y＝﹣x2+mx+n交于A、D两点且A点在x轴上，抛物线与x轴另一个交点为B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值； （3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点Q的坐标． 三．面积问题（共2小题） 10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2m﹣1，0）和点B（m+2，0），与y轴交于