2024年苏科版九年级中考数学提优几何模型7：中点四大模型

冲刺中考 中考提优几何模型七中点四大模型 （中点的联想） 几何专题七：中点四大模型 模型一：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 模型分析： 如图①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E使DE=AD,易证:ADC≌ΔEDB(SAS)； 如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证:△FDB≌△EDC(SAS)； 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移. 典型例题 【例1】如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】如图，△ABC中，AB=13，AD=6，AC=5，D为BC边的中点，则S△ABC= ______． 【例3】如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF= . 【例4】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF.求证：AC=BE. 作业训练 1．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB=5，BD=4，CD=3，点E是AC的中点，则BE的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 3．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线，点F是AE上任意一点（不与A，E重合），连接BF、CF．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示） 5.如图，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=1，BC=CD=2，E为AD上的中点，则BE＝______． 6.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果； 求证：. 7．如图，已知AP∥BC，点E是DC的中点，且AD+BC=AB，求证：AE⊥BE． 8.如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝． （1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长； （2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明． 9.如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线BD的取值范围是 　 　． （2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由． 10.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB=6，AC=10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长AD到E点，使DE=AD，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出AC=______． 这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在△ABC中，∠A=90°，D是BC边的中点，∠EDF=90°，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：． 【问题拓展】 （3）如图3，△ABC中，∠B=90°，AB=3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=5，且 ∠ADE=90°．直接写出AE的长＝______． 模型二：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一” 模型分析： 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的