6.2 立方根-2023-2024学年七年级数学下学期同步备课讲义（人教版）

6.2 立方根 1.了解立方根的概念，会用“”表示一个数的立方根，并掌握它的性质。 2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器求一个数的立方根。 知识点一 立方根的概念 1.立方根的概念 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果 那么x叫做a的立方根。 2.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。我们可以根据这种关系求一个数的立方根。 【注意】 (1)开立方是一种运算； (2)根据开立方与立方互为逆运算，可以求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根。 知识点二 立方根的性质及表示方法 1.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 2.算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2。因此，也可读作“二次根号a”。 3.一个数a的立方根，用符号 “”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3 是根指数。 4.互为相反数的数的立方根仍互为相反数。利用此结论可以把求一个负数的立方根转化根转化为求一个正数的立方根的相反数。 【注意】 （1）任意一个数都有且只有一个立方根； （2）立方根是它本身的数只有0和； （3），，； （4）一个数越大，它的立方根也越大。 题型一 立方根的概念 【例题】下列说法正确的是（  ） A．4的平方根是2 B．平方根是它本身的数是0 C． D．负数没有立方根 【即学即练1】下列说法中正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．平方根是它本身的数只有0 C．没有立方根 D．立方根是它本身的数只有0和1 【即学即练2】下列说法正确的是（    ） A．100的平方根是 B． C．正数有两个立方根 D．负数没有立方根 题型二 求一个数的立方根 【例题】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练】已知是最大的负整数，是8的立方根，则代数式的值为（    ） A． B． C．1 D．3 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 【例题】已知的平方根是，的立方根是3，求 ． 【即学即练1】已知，则的值为 ． 【即学即练2】若，则k的值为 ． 题型四 立方根的实际应用 【例题】球形容器又称球罐、壳体是球形，是贮存和运输各种气体、液体的一种有效、经济的压力容器．现某公司要生产一种容积为升的球形容器存放某种特殊气体，则这种球形的内半径是多少分米？（注：球的体积公式是，其中是球的半径） 【即学即练1】把一个长、宽、高分别为的长方体铁块锻造成4个同样的立方体铁块，问锻造成的每个立方体铁块的棱长是多少厘米？ 【即学即练2】已知一个正方体的体积是，现在要在它上底面的4个角上分别截去4个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是，问所截每个小正方体的棱长是多少？ 题型五 利用立方根解方程 【例题】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【即学即练1】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【即学即练2】解方程： (1)； (2)． 题型六 算术平方根与立方根的综合利用 【例题】（1）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根； （2）已知a，b都是有理数，且，求的平方根． 【即学即练1】已知的立方根是2，的算术平方根为3， (1)分别求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 【即学即练2】已知，表示的算术平方根，，表示的立方根． (1)求m、n的值； (2)求M和N的值； (3)求的平方根． 【探究一】已知两数立方根的关系求式子的值 已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【探究二】阅读理解：求一个数的立方根 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32768，它是一个整数的立方，希望求它的立方根．华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘．你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试． (1)由，，因为，请确定是_______位数； (2)由32768的个位上的数是8，请确定的个位上的数是_______，划去32768后面的三位数768得到32，因为，，请确定的十位上的数是_______． (3)所以＝_______． (4)已知13824是一个整数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：． 【探究三】立方根与算术平方根的综合运用 已知的两个平方根分别是，的立方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 一、单选题 1．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．若，为实数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列命题是