6.1 平方根-2023-2024学年七年级数学下学期同步备课讲义（人教版）

6.1 平方根 1.了解算术平方根和平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根和平方根，理解并掌握算术平方根、平方根的性质。 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根。 3.会用计算器求一个非负数的算术平方根。 4.能用有理数估计一个正有理数的算术平方根的大致范围。 知识点一 算术平方根 一、算术平方根的概念及表示方法 一般地，如果一个正数x的平方等于 a，即 那么这个正数x叫做a的算术平方根。 a 的算术平方根记 为读作“根号 a”，a 叫做被开方数。 规定：0的算术平方根是 0。 （1）具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0；② 是非负数，即。 （2）算术平方根是它本身的数只有0和1。 （3）被开方数越大，对应的算术平方根也越大。这个结论对所有正数都成立。当 a>b>0时,。 【注意】 (1)负数没有算术平方根，也就是说，当式子有意义时，a一定是非负数，即；当式子无意义时，，反之亦成立。 (2)当被开方数是带分数时，应先把带分数转化成假分数，再求算术平方根。 二、探究的大小(估算) 许多正有理数的算术平方根(例、、等)都是无限不循环小数。 （1）估算无限不循环小数时，通常取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根相比较。 （2）估算过程运用了“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的结论。 题型一 求一个数的算术平方根 【例题】已知实数，，，，，若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的值． 【即学即练1】已知的算术平方根是，的算术平方根是，求的算术平方根． 【即学即练2】已知，，是的算术平方根，求的算术平方根． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 【例题】，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【即学即练1】已知，则的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【即学即练2】已知，则（　　） A．1 B． C．8 D． 题型三 估算算术平方根的取值范围 【例题】若一个正方形的面积是20，则它的边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【即学即练1】在什么范围（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【即学即练2】估计的值（　　） A．在2到3之间 B．在3到4之间 C．在4到5之间 D．在5到6之间 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 【例题】写出一个比大且比小的整数是 ． 【即学即练1】的整数部分是 ．小数部分是 ． 【即学即练2】已知，若是整数，则a＝ ． 知识点二 平方根 一、平方根的概念及开平方运算 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。这就是说,如果，那么x叫做a的平方根。 例如，3和-3是9的平方根，简记为：是9的平方根。 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。就是求所有平方后等于这个数的数。平方与开 平方互为逆运算。根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。 【注意】 平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，即求平方根的运算。 二、平方根的性质及表示方法 （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根。　　 （2）因为，并且任何一个不为0 的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0。 （3）正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根。 【总结】正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （4）正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根，可以用符号“”表示，故正数a的平方根可以用符号“”表示，读作“正、负根号a”。 题型五 平方根的概念理解 【例题】下列各数中，没有平方根的是（    ） A．2 B．0 C． D． 【即学即练1】下列各数中没有平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 【即学即练2】一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型六 求一个数的平方根 【例题】若的算术平方根是5，则的平方根是 ． 【即学即练1】已知与的和是单项式，则的平方根是 ． 【即学即练2】一个正数的两个平方根是和，则 ． 题型七 求代数式的平方根 【例题】已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【即学即练1】若的算术平方根是3，求的平方根． 【即学即练2】已知，求2a－3b的平方根； 题型八 已知一个数的平方根求这个数 【例题】一个数的平方根分别是和，则这个数是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【即学即练1】若与是同一个数的平方根，则的值是（    ）． A． B．