第五章 真题演练 一元函数的导数及其应用-【学霸题中题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教版)

真题演练一元函数的导数及其应用 黑题 真题演练 限时：70min 考点1导数的概念与运算 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1， 1.(2023·会国甲文)尚线y4在点1兮)处 f(1)处的切线方程. (2)若函数f八x)在(0，+)上单调递增，求a 的切线方程为 的取值范围. A好 B.y 2 c导+ e e 3e D.y 2+ 4 2.(2021·新高考全国I)若过点(a,b)可以作 曲线y=e*的两条切线，则 ( A.e<a B.e"<b C.O<a<e" D.0<b<e" 3.(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y=lnlx|过坐标原 点的两条切线的方程为 4.(2022·新高考全国I)若曲线y=(x+a)e有 两条过坐标原点的切线，则a的取值范 8.(2023·新高考全国Ⅱ)(1)证明：当0<x<1 围是 时，x-x2<sinx<x; 考点2利用导数研究函数的单调性、极值和 (2)已知函数f(x)=cos ax--n(1-x2),若x=0 最值 是f(x)的极大值点，求a的取值范围. 5.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=ae- lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为 A.e2 B.e C.e D.e-2 6.(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f(x)= anx+。+S(a≠0)既有极大值也有极小值，则 ( A.be>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 7.(2023·全国乙文)已知函数x)=(（+扣小： ln(1+x). 第五章黑白题71 考点3利用导数解决恒成立、能成立问题 考点4利用导数研究函数的零点 9.(2023·新高考全国I)已知函数f(x)= 11.(2023·全国乙文)函数f代x)=x3+ax+2存在 a(e'+a)-x. 3个零点，则a的取值范围是 () (1)讨论f(x)的单调性： A.(-0,-2) B.(-x,-3) (2)证明：当>0时x)>2na+2 C.(-4,-1) D.(-3,0) 12.(2022·全国乙理)已知函数f(x)=ln(1+ x)+axe (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)) 处的切线方程： (2)若f(x)在区间(-1,0)，(0，+)各恰有 一个零点，求a的取值范围. 10.(2023·全国甲理)已知函数f(x)=ax- w*eo, sin x (1)当a=8时，讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围. 选择性必修第二册：RJA黑白题72时∫"(x)<0,函数(x)在(0，+)上单调递减：当>0时，当x∈ 区间[0,3]上单调递增，当x=0时，∫(x)取最小值，最小值为 (0,)时"e)<0e)单测适减，当e(仁+)时 0=-2加2（号）-+223）=12-2h5如图.又 0,八x)单调递增综上，当a≤0时，函数爪x)在(0，+)上单调递减： 当0时)在，。)上单调遥流，在（）上单调 /(）3),所以-2h2<a≤ +21n2. （2)证明：由()可知，当0ca<1时，)在。处取得最小值1+ 1na.若3xc(0,+e),使得x)<3-a2-ln2.只需1+nu<3a-a2 ln2,即a2-3a+1+lma+ln2<0恒成立即可.令g(a)=a2-3+1+lna+ h20cac).则go=2a-3+=24-》a-D当ae(0,7)】 时go)>0go)单调递增.当ae(号1）时，g(a)<0,s(o)单 故当a时6o(）子1h宁h2 1 -22 2 <0,所以3xe(0,+=),使得x)<3a-a2-h2 1 （2由3]对ve[2]a有)≤)成立知， 3.解：(1)函数八x)=x2e,求导得f'(x)=(2-2)e.则f(1)= 两数)在[三]上的最小值不大于两数6()在[片，2]小上 而1)= 上，由直线点斜式方程得y上(-)，所以曲线 ee 的最小值，即()一≤6()由(1)知，在区同【子3]上， )在点1)处的切线方程为=之 o=-h2e)e}] (2)函数fx)=x2e的定义域为R.由(1)知f(x)=-x(x-2)e,当 x<0或x>2时f'(x)<0.当0<x<2时，f'(x)>0,所以函数f八x)的单 当e[）时.0 调递减区间为(-x,0),(2,+),单调递增区间为(0,2)，函数八x) 当xe(1,2]时，h'(x)>0 、在x=0处取得极小值/0)=0，在x=2处取得极大值2)=子 因此两数4()在区问[子)上单调适减。 (3)由(2)知，所数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，+。)上单调递 在区间(1,2]上单调递增，于是(x)=()=e+n, 则有-2n2≤e+n.即n≥-r-2n2. 减.>0，恒有八x)>0:当x<0时，J(x