第四章 数列-【学霸题中题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教版)

进阶 突破 第四章 数列 4.1数列的概念 4.2等差数列 1.已知常数k∈(0,1)，数列{an}满足a,=n· 知识点一 等差数列的概念 "(n∈N·).现给出下列四个命题： 已知数列{an|中，a1=3,且满足a1=3an+ ①当k=)时，数列a,}为递减数列： 2×3n+1 ②当0<k<2时，数列a.为递减数列： (1)求证：数列(？}为等差数列，并求出数列 an}的通项公式： ③当)k<1时，数列a,不一定有最大项： (2)若不等式入an>4n2-8n+3,对Hn∈N,恒成 立，求入的取值范围. ,为正整数时，数列{a}必有两项相 等的最大项 其中正确命题的序号是 A.①② B.③④ C.②3④ D.②④ 2.在数列{a}中，对任意正整数n都有an>0, 且a,-an1=an,给出下列四个结论： ①对于任意的n≥3，都有a.≥2： ②对于任意a1>0,数列{an}不可能为常 数列： ③若0<a,<2,则数列{a,}为递增数列： ④若a1>2,则当n≥2时，2<a,<a1 其中所有正确结论的序号为 () A.②④ B.③④ C.①②③ D.②③④ 3.(2023·湖北武汉高二期末)数列{a,}满足 a=2.dm=ai-a+1,nEN,t 3 10 1的整数部分是 a2022 A.1 B.2 C.3 D.4 进阶突破·拔高练01 知识点二》等差数列的前n项和的综合应用 2.已知数列{a.}的各项均为正数，其前n项 1.已知汽车积碳清理机每台12800元.某企业 和S。满足2S。=an+1,数列1bn{满足 购买了一台该设备，投入运营后，该清理机 1 每年可给企业带来收益6400元，其维修保 b.=(a.+1)(a+1 养费用第一年为1000元，以后每年增加 (1)求{an}的通项公式： 400元. (2)设数列6，的前n项和为T。,若4、 (1)积碳清理机投入运营后，该企业第几年 T.<5m对一切n∈N恒成立，求实数m 开始盈利？（结果保留整数，参考数据： 的取值范围. /33≈5.7) (2)积碳清理机投人运营一段时间后，何时 淘汰该设备，企业设计了两种淘汰方 案：方案一：累计总利润最大时淘汰：方 案二：年平均利润最大时淘汰.请计算两 种方案下积碳清理机各使用多少年后 被淘汰你认为哪种方案更合理？试说 明理由. O2黑白题数学|选择性必修第二册·RJA 3.(2023·安徽阜阳高二期末)已知数列|a4.已知各项均为正数的数列{a.的首项a,= 的前n项和为Sn,若a1=1,S4=2a5,且an+2 1,其前n项和为S.,从①an=2S,-1; 2at1+an=0(n∈N*). ②S2=4S1,Sn1+-1=2(Sn+1)(n≥2)： (1)求数列{a,|的通项公式： ③a,=√S。+√S,(n≥2)中任选一个条件 (2)记b.=(-1)”a,求数列{b.|的前n项 作为已知，并解答下列问题. 和为T (1)求数列{a.的通项公式： (2设6= a1,设数列b.的前n项 3 和为T,求证：4≤T,<1 进阶突破·拔高练O3 4.3等比数列 2.(2023·江西赣州高二月考)已知数列{a。} 知识点一》等比数列的概念 满足a1=0,且an1-2an=2n(n∈N,). 1.(2023·福建龙岩高二月考)已知数列{an (1)求证：数列{a,+2n+2}是等比数列，并 的前n项和Sn满足S。=n-an 求{a,}的通项公式： (1)求证：数列{a。-1}是等比数列，并写出 (2)若an>入(2n+1)(-1)-对任意的n∈ {an}的通项公式： N恒成立，求入的取值范围. (2)设bn=(2-n)(a.-1),如果对任意正整 数，都有6，+宁≤，求实数1的取值 范围。 O4黑白题数学|选择性必修第二册·RJA 知识点三》等比数列的前项和的综合应用 2.(2023·海南海口高三模拟)已知数列{a 1.(2023·福建泉州高二月考)甲、乙、丙、丁 的各项均为正数且均不相等，记Sn为a 四人合资注册一家公司，每人出资50万元 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为 作为启动资金投人生产，到当年年底，资金 条件，证明另外一个成立。 增长了50%.预计以后每年资金年增长率与 ①数列{an+1}是等比数列：②a2=2a1+1: 第一年相同.四人决定公司从第一年开始 ③{Sn+n+a,+1}是等比数列. 每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金 全部投人下一年生产.设第n年年底公司分 红后的剩余资金为a.万元. (1)求a1,a2,并写出an1与an的关系式： (2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资 金不低于1200万元？ (年数取整数，参考数据：1.5≈7.59,1.56 11.39) 进阶突破·拔高练05 3.(2023·江西赣州高