2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）（新高考九省联考题型）

新高考 秘密★考试结束前 2024年普通高等学校招生全国统一考试 数学 模拟试卷（一） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为 A． B． C． D． 2．记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知向量，满足，，则的最小值为 A． B． C．8 D．2 4．已知正项等比数列中，，，成等差数列.若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为 A．1 B．3 C．6 D．9 5．拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森（Simpson）公式 求体积，其中h是高，是上底面面积，是下底面面积，是中截面（到上、下底面距离相等的截面）面积，如图所示，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为4的正方形，，且直线EF到底面ABCD的距离为3，则该五面体的体积为 A．18 B．20 C．24 D．25 6．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有 A．48种 B．32种 C．24种 D．16种 7．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则 A． B． C．是与的等差中项 D． 10．已知圆上的两个动点，始终满足，直线与轴交于点（，，三点不共线），则 A．直线与圆恒有交点 B． C．的面积的最大值为 D．被圆截得的弦长最小值为 11．已知所有顶点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，到上、下底面距离相等的截面叫作中截面．现有拟柱体，其中上、下底面均为边长为2的正方形，分别为底面和底面的中心，与两底面垂直，且，则 A．拟柱体外接球的表面积为 B．直线与平面所成角满足 C．拟柱体的中截面面积的最大值为 D．拟柱体的侧面为全等的三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数满足，则的最大值是 ． 13．投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则 ；函数取最大值时， . 14．已知球的表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数 (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围. 16．（15分） 第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛. (1)完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？ 男 女 合计 喜爱看足球比赛 不喜爱看足球比赛 合计 60 (2)在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为，求的分布列和期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分） 如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段的中点，. (1)求证：平