3.3垂径定理（二）课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

3.3 垂径定理（二） scc3zbsx21111601 复习： 建立在圆的中心对称性基础上的圆的性质 ——等对等定理 建立在圆的轴对称性基础上的圆的性质 ——垂径定理 常见辅助线：过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，或连结半径（为应用垂径定理创造条件） 垂径定理三角形的应用——半径、弦心距、弦 三者知二求一 scc3zbsx21111601 · O A B C D E 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 由① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ③AE = BE ⌒ ⌒ ④AC =BC ⌒ ⌒ ⑤AD = BD 垂径定理的三种语言（文字语言，符号语言，图形语言） scc3zbsx23021703 3 垂径定理的三种语言（文字语言，符号语言，图形语言） ●O A B C D M└ CD⊥AB, 符号语言：如图∵ CD是直径, ∴ AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 思考：平分弦的直径垂直于这条弦吗？ scc3zbsx23021703 4 CD⊥AB, CD是直径 AE=BE 可推得 ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. B A D C O E 平分弦的直径垂直于弦（ ） C D B A O 1.被平分的弦不是直径： 2.被平分的弦是直径： (AB不是直径) scc3zbsx23021703 5 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP=BP， ⌒ ⌒ AC =BC， ⌒ ⌒ AD =BD.(结论) 书写格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如. scc3zbsx21111601 1.垂径定理的逆命题是什么？ 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 条件 结论1 结论2 逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。 逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。 善于自学 2.垂径定理的逆命题是真命题吗？如何证明？ 3.垂径定理的逆定理用几何语言如何叙述？ scc3zbsx21111601 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个元素中的任何两个元素都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 scc3zbsx21111601 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明猜想 scc3zbsx21111601 AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） · O A B C D E ⌒ ⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 证明举例 ⌒ ⌒ scc3zbsx21111601 已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 命题1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 证明：连结OA，OB，则OA=OB ∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE ∴CD⊥AB （等腰三角形三线合一） （垂径定理） ∴AD=BD，AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B C D E scc3zbsx21111601 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 scc3zbsx21111601 垂径定理的本质是: 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 scc3zbsx21111601 推论（1） （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条