3.3 垂径定理（一）课件 2023-2024学年北师大版九年级数学下册

3.3 垂径定理（一） 圆的对称性 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ ●O 你是用什么方法解决上述问题的? scc3zbsx23021601 2 1 问题 1 等腰三角形是轴对称图形吗？ 2 如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？ 3 如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？ scc3zbsx21111501 3 问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AP=BP 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D P C 垂径定理及其推论 一 scc3zbsx21111501 4 · O A B D C P 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP， AC =BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD， ⌒ ⌒ ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ scc3zbsx21111501 5 C A E B O . D 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。 CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 结论 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BE AC=BC AD=BD scc3zbsx21111501 6 垂径定理的几个基本图形 scc3zbsx21111501 7 垂径定理的证明： 连接OA,OB, ●O A B C D M└ 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ ∴AC = BC, ⌒ ⌒ 　AD =BD. scc3zbsx23021601 8 垂径定理的三种语言： 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. scc3zbsx23021601 9 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E scc3zbsx21111501 10 E O A B D C E A B C D E O A B D C E O A B C E O C D A B O B A E D 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧. O 练习 1 scc3zbsx21111501 11 方法归纳: 解决有关弦的问题时，经常连结半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。 E . A C D B O . A B O H scc3zbsx21111501 12 作法： ⒈ 连结AB. ⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. 点E就是所求弧AB的中点． C D A B E 例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点． ⌒ scc3zbsx21111501 13 变式： 求弧AB的四等分点． C D A B Ｍ F G 错在哪里？ 1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH Ｔ Ｅ Ｎ Ｈ Ｐ 强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线． scc3zbsx21111501 14 例1：如图，已知AB是圆O的直径，AB=4, OB,CD交于点E，且CD垂直平分OB，求CD的 长。 scc3zbsx21111501 15 变式：如图，在圆O中，AB为弦，OC⊥AB于点D，AB=6cm,CD=1cm,求圆O的半径OA。 scc3zbsx21111501 16 例2：如图所示是以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于点C，D. (1)求证：AC