专题02相交线与平行线之“铅笔模型”（模型解题技巧+例题讲解+强化训练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（北师大版）

专题02相交线与平行线之“铅笔模型”（模型解题技巧+例题讲解+强化训练） 【模型解题技巧】 一、“铅笔”模型 从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图： 那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 二、模型证明 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：如图，过点E作FG//AB ∵ AB//FG，AB//CD ∴ FG//CD ∵ AB//FG ∴ ∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ FG//CD ∴ ∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360° ∴ ∠B+∠D+∠BED=360° 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360° 证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。 三、猪蹄模型和铅笔头模型关系 1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型 ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴ 180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED ∴ ∠FBE+∠GDE+∠BED=360° 2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型 ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得， ∠ABE+∠BED+∠CDE=360° ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE ∴ 180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360° ∴ ∠FBE+∠GDE=∠BED 【例题讲解】 1．（2023春•炎陵县期末）如图所示，，，，试求的度数． 2．（2023春•禅城区期中）如图，已知直线，与、分别交于点、，动点在直线上且不与点、重合．点在上，且位于点的左侧，点在上，已知，，． （1）当点在点的左侧时， ①点在图1的位置时，若，，求的度数． ②点在图2的位置时，试说明，，之间的关系． （2）当在右侧，且时，请直接写出，，之间可能的关系． 3．（2023春•武汉期末）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； （3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值． 4．（2023春•巴南区月考）已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，点在直线上，且，求证：； （3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数． 【强化训练】 5．（2023春•遂宁期末）如图，直线，两个三角形如图①放置，其中，，，，点在直线上，点，均在直线上，且平分． （1）求的度数； （2）如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，的对应点分别为，．设旋转时间为秒，当时，边与有何位置关系？请说明理由． 6．（2023春•孝义市期末）综合与探究 数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，如图1，已知直线，直角三角板中，，． （1）如图1，若，则　　；（直接写出答案） （2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图2，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由； （3）如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由． 7．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线，点在直线上，点在直线上，点为平面上任意一点，连接，，． （1）如图1，点在直线上，平分，试说明； （2）如图2，点在直线，之间，，，求的度数； （3）如图3，和的平分线交于点，与有何数量关系？并说明理由． 8．（2023春•大同期末）综合与探究 已知直线，直线分别与，交于点，．将一把含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点，分别