7.5 正态分布-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第三册 第七章 随机变量及其分布 7.5　正态分布 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课下培优巩固练(十七) 　　　　　　　 课程标准 学习目标 1．利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义． 2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义． 3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率． 1．数学抽象、直观想象：理解正态分布的概念、图象及性质． 2．数学运算：借助3σ原则解题． 一、正态曲线、正态分布 1．正态曲线与正态分布 若f(x)＝ ，x∈R，其中，μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴 ，与x轴不相交． eq \f(1,σ\r(2π)) e－ eq \f(（x－μ）2,2σ2) 上方 x轴 集中 分散 [提醒] 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． (2)曲线是单峰的，它关于直线 对称． (3)曲线在 处达到峰值 eq \f(1,σ\r(2π)) . (4)曲线与x轴之间的面积为 ． (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 平移． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 ． x＝μ x＝μ 1 二、3σ原则 假设X～N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)是一个只与k有关的定值．特别地， P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ ， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ ， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 0.682 7 0.954 5 0.997 3 【基础自测】 1．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为(　　) A．1 B． eq \r(3) C．2 D．4 解析：∵随机变量X服从正态分布N(a，4)，∴P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1. 答案：A 2．随机变量ξ服从正态分布N(1，22)，P(ξ≥2)＝0.3，则P(0<ξ<1)＝(　　) A．0.7 B．0.4 C．0.2 D．0.15 解析：由题意，随机变量ξ服从正态分布N(1，22)， ∴正态曲线的对称轴是直线x＝1. 又∵P(ξ≥2)＝0.3，∴P(ξ≤0)＝0.3， ∴P(0<ξ<1)＝ eq \f(1,2) P(0<ξ<2)＝ eq \f(1,2) ×[1－(0.3＋0.3)]＝0.2. 答案：C (多选)如图是正态分布N(0，1)的正态曲线图，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子有(　　) 注：Φ(a)＝P(X≤a). A． eq \f(1,2) －Φ(－a) B．Φ(1－a) C．Φ(a)－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,2) [Φ(a)－Φ(－a)] 解析：∵Φ(－a)＝P(X≤－a)，∴图中阴影部分的面积为 eq \f(1,2) －P(X≤－a)＝ eq \f(1,2) －Φ(－a).再根据图象的对称性可知图中阴影部分的面积为P(X≤a)－ eq \f(1,2) ＝Φ(a)－ eq \f(1,2) .又P(－a≤X≤a)＝Φ(a)－Φ(－a)，阴影部分的面积为 eq \f(1,2) [Φ(a)－Φ(－a)]. 答案：ACD A．0.3% B．0.23% C．0.135% D．1.35% 解析：由题意得μ＝102，σ＝4，∴μ＋3σ＝114. ∵P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3， ∴P(X>114)≈ eq \f(1－0.997 3,2) ＝0.001 35＝0.135%. 答案：C 4．(2023·辽宁大连高二期末)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(102，42)，则114分以上的成绩所占的百分比为(　　) (附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ