7.3.2 离散型随机变量的方差-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第三册 第七章 随机变量及其分布 7.3.2　离散型随机变量的方差 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课下培优巩固练(十四) 课程标准 学习目标 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． 1．数学抽象：理解离散型随机变量的方差及意义． 2．数学运算：借助方差公式解决实际问题． 一、离散型随机变量的方差、标准差 1．定义：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则 描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝ 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根σ(X)为随机变量X的标准差． [xi－E(X)]2 集中 2．意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其 的偏离程度，反映了随机变量取值的 程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越 ；方差或标准差越大，随机变量的取值越 ． 均值 离散 分散 [提醒] 随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的． 二、离散型随机变量方差的运算性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ ． 2．若X服从两点分布B(1，p)，则D(X)＝ ． [必记结论]　D(X)＝E(X2)－[E(X)]2 a2D(X) p(1－p) 【基础自测】 1．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为(　　) A．0.25；0.5 B．0.5；0.75 C．0.5；0.25 D．1；0.75 解析：E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25. 答案：C 2．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(1,3) a b 且E(X)＝1，则随机变量X的方差D(X)等于(　　) A． eq \f(1,3) B．0 C．1 D． eq \f(2,3) 解析：根据所给分布列，可得 eq \f(1,3) ＋a＋b＝1，由E(X)＝1，可得a＋2b＝1，∴a＝b＝ eq \f(1,3) ， ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(1,3) eq \f(1,3) eq \f(1,3) ∴D(X)＝ eq \f(1,3) ×(0－1)2＋ eq \f(1,3) ×(1－1)2＋ eq \f(1,3) ×(2－1)2＝ eq \f(2,3) . 答案：D 答案：5 3．已知随机变量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,3) eq \f(1,6) 若η＝3ξ＋1，则D(η)＝________． 解析：均值E(ξ)＝(－1)× eq \f(1,2) ＋0× eq \f(1,3) ＋1× eq \f(1,6) ＝－ eq \f(1,3) ； 方差D(ξ)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3))) eq \s\up12(2) × eq \f(1,6) ＝ eq \f(5,9) . 由η＝3ξ＋1，∴D(η)＝9D(ξ)＝5. 答案：1　1 4．已知离散型随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 则其方差为________，标准差为______． 解析：E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3 ×0.4＝2， D(ξ)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1. 则标准差 eq \r(D（ξ）) ＝ eq \r(1) ＝1. 突破点一　求离散型随机变量的方差、标准差 【例1】 编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学生坐