7.1.2 全概率公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第三册 第七章 随机变量及其分布 7.1.2　全概率公式 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课下培优巩固练(十一) 课程标准 学习目标 1．了解全概率公式和贝叶斯公式的概念． 2．掌握利用全概率公式和贝叶斯公式求概率的方法． 3．能利用全概率公式和贝叶斯公式解决生活中一些简单的实际问题． 1．数学抽象：理解全概率公式和贝叶斯公式的概念． 2．数字运算、逻辑推理：利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率． 一、全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组 的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ ．我们称此公式为全概率公式． 两两互斥 [提醒] 　全概率公式的直观解释 如图，B发生的概率与P(BAi)(i＝1，2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝ ＝ . 在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为在一系列条件下发生的概率的和． 二、贝叶斯公式(不作考试要求) 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝ eq \f(P（Ai）P（B|Ai）,P（B）) ＝ ，i＝1，2，…，n. 【基础自测】 1．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为(　　) A．0.8 B．0.5 C．0.67 D．0.875 解析：设公路上经过的车为货车是事件A，经过的车是客车为事件B，车需要修理为事件C，且P(A)＝ eq \f(2,3) ，P(B)＝ eq \f(1,3) ，P(C|A)＝0.02，P(C|B)＝0.01，所以P(A|C)＝ eq \f(P（A）P（C|A）,P（A）P（C|A）＋P（B）P（C|B）) ＝ eq \f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01) ＝0.8. 答案：A 2．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为(　　) A． eq \f(2,9) B． eq \f(3,9) C． eq \f(3,10) D． eq \f(7,10) 解析：记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P( eq \x\to(A) B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\to(A) )P(B| eq \x\to(A) )， 由题设易知P(A)＝ eq \f(3,10) ，P( eq \x\to(A) )＝ eq \f(7,10) ，P(B|A)＝ eq \f(2,9) ，P(B| eq \o(A,\s\up6(－)) )＝ eq \f(3,9) ， 于是P(B)＝ eq \f(3,10) × eq \f(2,9) ＋ eq \f(7,10) × eq \f(3,9) ＝ eq \f(3,10) . 答案：C 3．一批零件100个，其中有10个不合格品，从中一个一个不放回取出，第三次才取出不合格品的概率为________． 解析：记Ai＝“第i次取出的是不合格品”，Bi＝“第i次取出的是合格品”，依题意：P(B1B2A3)＝P(B1)P(B2|B1)·P (A3|B1B2)＝ eq \f(90,100) × eq \f(89,99) × eq \f(10,98) ＝ eq \f(89,1 078) . 答案： eq \f(89,1 078) 4．甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一个球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球．则从乙箱中取出白球的概率为________． 解析：设B＝“从乙箱中取出白球”，A＝“从甲箱中取出白球”， P(A)＝ eq \f(3,5) ，P( eq \x\to(A) )＝ eq \f(2,5) ，P(B| eq \x\to(A) )＝ eq \f(1,5) ，P(B|A)＝ eq \f(2,5) ，利用全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( eq \x\to(A) )P(B| eq \x\to(A) )＝ eq \f(3,5) × eq \f(2,5) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,5) ＝ eq \f(8,25) . 答案： eq \f(8,25) 突破点一　利用全概率公式