6.3.1 二项式定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第三册 第六章 计数原理 6.3　二项式定理 6.3.1 二项式定理 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课下培优巩固练(八) 课程标准 核心素养 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题． 1．逻辑推理：利用二项式定理推导过程培养逻辑推理素养． 2．数学运算：借助二项式定理应用提升运算能力． C eq \o\al(\s\up24(k),\s\do8(n)) k＋1 一、二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*). (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有 项． (3)二项式系数：各项的系数 (k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． 二、二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第 项叫做二项展开式的通项记作Tk＋1＝C eq \o\al(\s\up24(k),\s\do8(n)) an－kbk. C eq \o\al(\s\up24(0),\s\do8(n)) an＋C eq \o\al(\s\up24(1),\s\do8(n)) an－1b＋C eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(n)) an－2b2＋…＋C eq \o\al(\s\up24(r),\s\do8(n)) an－kbk＋…＋C eq \o\al(\s\up24(n),\s\do8(n)) bn n＋1 [提醒] (1)二项展开式中的二项式系数是指C eq \o\al(\s\up24(0),\s\do8(n)) ，C eq \o\al(\s\up24(1),\s\do8(n)) ，…，C eq \o\al(\s\up24(n),\s\do8(n)) 这些组合数，与a，b无关． (2)展开式中的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数． 【基础自测】 1．(x－ eq \f(1,x) )5的展开式中含x3项的二项式系数为(　　) A．－10 B．10 C．－5 D．5 解析：Tr＋1＝C eq \o\al(\s\up24(r),\s\do8(5)) ·x5－r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x))) eq \s\up12(r) ＝(－1)rC eq \o\al(\s\up24(r),\s\do8(5)) ·x5－2r，令5－2r＝3，则r＝1.∴x3项的二项式系数为C eq \o\al(\s\up24(1),\s\do8(5)) ＝5. 答案：D 2．二项式(x2＋ eq \f(2,\r(x)) )10的展开式中的常数项是(　　) A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项 解析：通项Tr＋1＝C eq \o\al(\s\up24(r),\s\do8(10)) ·(x2)10－r·( eq \f(2,\r(x)) )r＝2r·C eq \o\al(\s\up24(r),\s\do8(10)) ·x20－ eq \f(5r,2) ，令20－ eq \f(5r,2) ＝0得r＝8，∴常数项为第9项． 答案：B 3．在( eq \r(x) －2)5的展开式中，x2的系数为(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 解析：由二项式定理得( eq \r(x) －2)5的展开式的通项Tk＋1＝C eq \o\al(\s\up24(k),\s\do8(5)) ( eq \r(x) )5－k(－2)k＝C eq \o\al(\s\up24(k),\s\do8(5)) (－2)kx eq \s\up6(\f(5－k,2)) ，令 eq \f(5－k,2) ＝2，得k＝1，所以T2＝C eq \o\al(\s\up24(1),\s\do8(5)) ·(－2)·x2＝－10x2， 所以x2的系数为 －10. 答案：C 4．(2023·安徽蚌埠三中期末)二项式(2x2－ eq \f(1,4x) )6的展开式的中间项是________． 解：二项式展开式的通项为Tk＋1＝C eq \o\al(\s\up24(k),\s\do8(6)) (2x2)6－k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4x))) eq \s\up12(k) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))) eq \s\up