6.2.3 6.2.4 第2课时 组合的综合应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第三册 第六章 计数原理 6.2.3　组合 6.2.4 组合数 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课下培优巩固练(六) 第2课时　组合的综合应用 课程标准 核心素养 1．学会运用组合的概念，分析简单的实际问题． 2．能解决无限制条件的组合问题． 逻辑推理、数学运算：利用综合知识解决实际问题． 突破点一　简单的组合问题 【例1】 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)从中任选5人是组合问题，共有C eq \o\al(\s\up24(5),\s\do8(12)) ＝792(种)不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(9)) ＝36(种)不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C eq \o\al(\s\up24(5),\s\do8(9)) ＝126(种)不同的选法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C eq \o\al(\s\up24(1),\s\do8(3)) ＝3(种)选法；再从另外9人中选4人，有C eq \o\al(\s\up24(4),\s\do8(9)) 种选法．共有C eq \o\al(\s\up24(1),\s\do8(3)) C eq \o\al(\s\up24(4),\s\do8(9)) ＝378(种)不同的选法． 【母题探究】 (变设问)在本例条件下，甲、乙、丙三人至少1人参加，有多少种不同的选法？ 解：法一　可分为三类： 第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有C eq \o\al(\s\up24(1),\s\do8(3)) C eq \o\al(\s\up24(4),\s\do8(9)) ＝378(种)不同的选法； 第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有C eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(3)) C eq \o\al(\s\up24(3),\s\do8(9)) ＝252(种)不同的选法； 第三类：甲、乙、丙中有3人参加，共有C eq \o\al(\s\up24(3),\s\do8(3)) C eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(9)) ＝36(种)不同的选法． 共有C eq \o\al(\s\up24(1),\s\do8(3)) C eq \o\al(\s\up24(4),\s\do8(9)) ＋C eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(3)) C eq \o\al(\s\up24(3),\s\do8(9)) ＋C eq \o\al(\s\up24(3),\s\do8(3)) C eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(9)) ＝666(种)不同的选法． 法二　12人中任意选5人，共有C eq \o\al(\s\up24(5),\s\do8(12)) 种， 甲、乙、丙三人都不能参加的有C eq \o\al(\s\up24(5),\s\do8(9)) 种， 所以共有C eq \o\al(\s\up24(5),\s\do8(12)) －C eq \o\al(\s\up24(5),\s\do8(9)) ＝666(种)不同的选法． [总结] 　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可． 【跟踪训练】 1.(2022·湖北宜昌期末)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 解析：由题意知本题是一个分类计数问题．按照没送的书是画册还是集邮册分类，若是画册，则3本集邮册与1本画册，共C eq \o\al(\s\up24(1),\s\do8(4)) C eq \o\al(\s\up24(3),\s\do8(3)) ＝4(种)；若是集邮册，则2本画册与2本集邮册，共C eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(4)) C eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(2)) ＝6(种)，因此共有4＋6＝10(种). 答案：B 2．现有甲、乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，则甲、乙两类均被选到的方法共有______