10.2.2复数的乘法与除法导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

人教B版必修四 10．2.2　复数的乘法与除法 导学案 （原卷+答案） 课程标准 掌握复数代数表示式的乘除运算 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________． 知识点二　复数的乘法运算律 　对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝____________ 结合律 (z1·z2)·z3＝____________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________ 知识点三　共轭复数的性质 (1)两个共轭复数的对应点关于________对称． (2)实数的共轭复数是________，即z＝⇔z∈R. 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． (3)z·＝________＝||2∈R. 知识点四　复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， ＝＝________________． 知识点五　实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)在复数范围内一定有两个根． Δ＝b2－4ac. (1)当Δ≥0时有两个实根． ①Δ>0时有两个不相等的实根：； ②Δ＝0时有两个相等的实根：－. (2)Δ<0时有两个互为共轭的虚数根：. (3)若x1，x2是其两个根，总有 基 础 自 测 1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　) A．－i　　　B．i　 　 　C．－1　　　D．1 2．i是虚数单位，复数＝________． 3．设z＝，则|z|＝(　　) A．2 B． C． D．1 4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝____________． 课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1　复数代数形式的乘除运算 例1　计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i； (3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (4)； (5)； (6). 方法归纳 (1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)． (2)利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，(－±i)3＝1，＝－i，＝i，＝－i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程． 跟踪训练1　计算： (1)(－i)(i)(1＋i)； (2)(－2＋3i)÷(1＋2i)． 题型2　共轭复数及其应用 例2　(1)已知复数z＝是z的共轭复数，则z·＝(　　) A．　　　B．　　　C．1　　　D．2 (2)已知复数z的共轭复数是，且z－＝－4i，z·＝13，试求. 方法归纳 (1)已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解． (2)关于共轭复数的常用结论 ①z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质； ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数； ③若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数． 跟踪训练2　已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z. 题型3　虚数单位i的幂的周期性及其应用 【思考探究】　1.i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的结果分别是什么？ [提示]　1，i，－1，－i. 2．in(n∈N)有几种不同的结果？ [提示]　四种：1，i，－1，－i. 3．in＋in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)结果是多少？ [提示]　0. 例3　(1)计算：＋()2 020； (2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 018的值． 方法归纳 (1)要熟记in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值． (2)记住以下结果，可提高运算速度 ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i； ②＝－i，＝i； ③＝－i. 跟踪训练3　(1)若z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 019的值． (2)＋()2 020. 题型4　复数范围内的一元二次方程(逻辑推理、数学运算) 例4　(1)若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　) A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－