9.3.1 平面向量基本原理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

数学 必修第二册（苏教） 第9章 平面向量 9．3　向量基本定理及坐标表示 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 课下培优巩固练(六) 9. 3. 1 平面向量基本定理 [课程标准]　理解平面向量基本定理及其意义． 一、平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内两个 的向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ 基底 这两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底 不共线 λ1e1＋λ2e2 记一记：平面向量基本定理的关注点 ①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量； ②该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的； ③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底． 二、正交分解 由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式．我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相 时，这种分解也称为向量a的正交分解． 垂直 【基点小试】 1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点，若 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝b，则用a，b表示 eq \o(AF,\s\up6(→)) 的结果为______． 解析：由题意，可得 eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝a－b， ∵D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点， ∴ eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) (a－b)，同理， eq \o(CE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) (a－b)， eq \o(CF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(CE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,8) (a－b)， ∴ eq \o(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(CF,\s\up6(→)) ＝b＋ eq \f(1,8) (a－b)＝ eq \f(1,8) a＋ eq \f(7,8) b. 答案： eq \o(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,8) a＋ eq \f(7,8) b 2．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝b，用a，b表示 eq \o(AG,\s\up6(→)) ＝________． 解析： eq \o(AG,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BE,\s\up6(→)) ＋ eq \o(EG,\s\up6(→)) ＝a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,4) eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,4) (b－a)＝ eq \f(3,4) a＋ eq \f(3,4) b. 答案： eq \f(3,4) a＋ eq \f(3,4) b 题型一　平面向量基本定理的理解 例1.若e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______．(填序号) ①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； ②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； ③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； ④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量． 解析：①正确．若λ≠0，则e1＝－ eq \f(μ,λ) e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.②不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．③正确．平面α内的任一向量a都可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；④不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2唯一确定． 答案：①③ [总结] 　对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量a与b是平面内两个不