7.3 复数的三角表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学 必修第二册（人教） 第七章 复数 7．3*　复数的三角表示　　　　　 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 模 模与辐角的主值 r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 各复数的模的积 和 被除数 除数 被除数 除数 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 课下培优巩固练(十八) [课程标准]　1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示．　2.了解复数的代数形式与三角表示之间的关系．　3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 一、复数的三角形式 1．定义：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的 ；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量 eq \o(OZ,\s\up6(→)) 所在射线(射线 eq \o(OZ,\s\up6(→)) )为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． 2．辐角的主值：我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z. 3．两个三角形式表示的复数相等的条件：两个非零复数相等当且仅当它们的 分别相等． 记一记：(1)三角形式r(cos θ＋isin θ)的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连． (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． (3)复数0的辐角是任意的． (4)任意一个不为0的复数z的辐角主值是确定的、唯一的． 二、复数三角形式的乘、除运算及几何意义 1．复数三角形式的乘、除运算法则 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝ ． 即：两个复数相乘，积的模等于 ，积的辐角等于各复数的辐角的 ． (2) eq \f(z1,z2) ＝ eq \f(r1（cos θ1＋isin θ1）,r2（cos θ2＋isin θ2）) ＝ ． 即：两个复数相除，商的模等于 的模除以 的模所得的商，商的辐角等于 的辐角减去 的辐角所得的差． 2．复数三角形式乘法的几何意义 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量 eq \o(OZ,\s\up6(→)) ， eq \o(OZ,\s\up6(→)) 表示的复数就是积z1z2，这是复数乘法的几何意义． 3．复数三角形式除法的几何意义． 两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的 eq \f(1,r2) 倍，得到向量 eq \o(OZ,\s\up6(→)) ， eq \o(OZ,\s\up6(→)) 表示的复数就是商 eq \f(z1,z2) . 【基点小试】 1．复数1＋ eq \r(3) i化成三角形式，正确的是(　　) A．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(2π,3)＋isin \f(2π,3))) B．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin \f(π,3))) C．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(5π,3)＋isin \f(5π,3))) D．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(11π,6)＋isin \f(11π,6))) 解析：r＝2，cos θ＝ eq \f(1,2) ，复数对应的点在第一象限，所以arg(1＋ eq \r(3) i)＝ eq \f(π,3) ， 所以1＋ eq \r(3) i＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin \f(π,3))) . 答案：B 2．复数z＝(cos 25°＋isin 25°)(cos 50°＋isin 50°)的三角形式是(　　) A．cos (－2