6.4.3 第2课时 正弦定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学 必修第二册（人教） 第六章 平面向量及其应用 6．4　平面向量的应用　 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 课下培优巩固练(十二) 6．4．3　余弦定理、正弦定理 第二课时　正弦定理 eq \f(c,sin C) 正弦 第二课时　正弦定理　 1．正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 ＝ eq \f(b,sin B) ＝ 文字 叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等 eq \f(a,sin A) 2Rsin B 2Rsin C a>b sin A>sin B 2.正弦定理的常见变形 (1) eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝ (R为△ABC外接圆的半径). (2)a＝ ，b＝ ，c＝ (R为△ABC外接圆的半径). (3)sin A＝ eq \f(a,2R) ，sin B＝ eq \f(b,2R) ，sin C＝ eq \f(c,2R) (R为△ABC外接圆的半径). (4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (5) eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C) ＝ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) . (6)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B. (7)在△ABC中，A>B⇔ ⇔ ． 2R 2Rsin A 3．常用三角形面积公式 (1)S＝ eq \f(1,2) aha＝ eq \f(1,2) bhb＝ eq \f(1,2) chc； (2)S＝ eq \f(1,2) ab sin C ＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) ca sin B. 想一想：设A，B两点分别在河的两岸，测量者在B的同侧，为了得到 A，B两点之间的距离，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m. (1)如图1，若测得∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，你能求出A，B两点间的距离吗？ (2)如图2，若测得∠B＝45°，∠C＝60°，你能求出A，B两点间的距离吗？ 提示：(1)由题意，△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理可得斜边AB＝24 eq \r(2) m. (2)已知三角形两角及一条边的长度，可利用本节课要学习的正弦定理求边AB的长，即A，B两点间的距离． 【基点小试】 1．在△ABC中，a＝ eq \r(3) ，b＝1，B＝30°，则A＝(　　 ) A．30° B．60° C．60°或120° D．120° 解析：∵a＝ eq \r(3) ，b＝1，B＝30°， ∴根据正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，得sin A＝ eq \f(a·sin B,b) ＝ eq \f(\r(3)×\f(1,2),1) ＝ eq \f(\r(3),2) ， 又a>b，得到A>B，即30°<A<180°， 则A＝60°或120°. 答案：C 2．在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，则AC＝(　　 ) A．1 B．2 C．2 eq \r(2) D．2 eq \r(3) 解析：由题意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理 eq \f(AC,sin 30°) ＝ eq \f(AB,sin 45°) ， 得AC＝ eq \f(4×\f(1,2),\f(\r(2),2)) ＝2 eq \r(2) . 答案：C 题型一　已知两角及一边解三角形 例1.(2023·陕西咸阳高二检测)在△ABC中，B＝ eq \f(2π,3) ，C＝ eq \f(π,6) ，a＝5，则此三角形的最大边长为____________． 解析：利用正弦定理可知，B对的边最大， ∵B＝ eq \f(2π,3) ，C＝ eq \f(π,6) ，∴A＝ eq \f(π,6) ， ∴ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ， ∴b＝ eq \f(a sin B,sin A) ＝ eq \f(5×\f(\r(3),2),\f(1,2)) ＝5 eq \r(3) . 答案：5 eq \r(3) [总结] 　已知两角及一边解三角形的一般步骤 注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值，再根据上述步骤求解．此时应注意角的拆并，