6.4.3 第1课时 余弦定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学 必修第二册（人教） 第六章 平面向量及其应用 6．4　平面向量的应用　 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 课下培优巩固练(十一) 6．4．3　余弦定理、正弦定理 [课程标准]　1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、 正弦定理．　2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 第一课时　余弦定理 a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 文字 语言 三角形中任何一边的平方，等于 减去这两边与它们 的两倍 符号 语言 a2＝ ， b2＝ ， c2＝ 夹角的余弦的积 其他两边平方的和 b2＋c2－2bccos A 定理 推论 cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(a2＋c2－b2,2ac) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 2.三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素 三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 想一想：已知A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一个点C，通过测量计算得AC，BC的长度和∠ACB的大小，你能据此求出AB吗？ 提示：在△ABC中，利用余弦定理可得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB cos ∠ACB，代入数值计算并开方即可． 【基点小试】 1．在△ABC中，a＝1，c＝2，B＝60°，则b＝(　　 ) A．1 B．2 C． eq \r(2) D． eq \r(3) 解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12＋22－2×1×2× eq \f(1,2) ＝3， ∴ b＝ eq \r(3) . 答案：D 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝6，b＝7，c＝5，则sin C＝(　　 ) A． eq \f(\r(6),7) B． eq \f(5,7) C． eq \f(2\r(6),7) D． eq \f(\r(6),6) 解析：因为a＝6，b＝7，c＝5， 所以cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(36＋49－25,2×6×7) ＝ eq \f(5,7) ， 则C为锐角，故sin C＝ eq \r(1－cos2C) ＝ eq \f(2\r(6),7) . 答案：C 题型一　已知两边及一角解三角形 例1.(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝ eq \f(1,3) ，则c＝(　　 ) A．4 B． eq \r(15) C．3 D． eq \r(17) 解析：cos C＝－cos (A＋B)＝－ eq \f(1,3) .又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))) ＝17，所以c＝ eq \r(17) . 答案：D (2)(2023·福建三明一中高一检测)在△ABC中，BC＝8，CA＝7，B＝60°，则AB＝(　　 ) A．2 B．3 C．2或5 D．3或5 解析：由条件可知，a＝BC＝8，b＝AC＝7，B＝60°， 由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos 60°，即c2－8c＋64＝49，得c2－8c＋15＝0， 解得c＝3或c＝5，即AB＝3或5. 答案：D [总结] 　已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角． (1)若已知角是给出两边的夹角，直接运用余弦定理求出第三边，再由余弦定理和三角形内角和定理求其他角． (2)若已知角是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解． 【练一练】 1．在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC＝(　　 ) A．2 eq \r(2) B．3 C．6 D． eq \r(6) 解析：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠ACB， 故49＝25＋BC2－2×5×BC× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ， 即BC