6.2.4 向量的数量积-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学 必修第二册（人教） 第六章 平面向量及其应用 6．2　平面向量的运算　 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 课下培优巩固练(五) 6．2．4　向量的数量积 [课程标准]　1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．　3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 反向 垂直 一、向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b(如图所示)，O是平面上的任意一点，作 eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． ∠AOB 2．特例： ①当θ＝0时，向量a与b ； ②当θ＝π时，向量a与b ； ③当θ＝ eq \f(π,2) 时，向量a与b ，记作a⊥b. 同向 想一想：若两个向量夹角为钝角，则它们的数量积小于0.反之，若数量积小于0，则两个向量的夹角为钝角，说法对吗？ 提示：不对，因为两个向量反向时，数量积小于0，但它们的夹角是180°，不是钝角． 0 2．投影向量 如图①，设a，b是两个非零向量， eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝b，过 eq \o(AB,\s\up6(→)) 的起点A和终点B，分别作 eq \o(CD,\s\up6(→)) 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影， 叫做向量a在向量b上的投影向量． A1B1 二、向量的数量积 1．向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 ．规定零向量与任一向量的数量积为 ． |a||b|cos θ a·b a·b＝|a||b|cos θ 如图②，在平面内任取一点O，作 eq \o(OM,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量． eq \o(OM,\s\up6(→)) 1 记一记：1.两向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值可正、可负、可为0.两个非零向量的数量积符号由夹角的余弦值决定． 2．两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、 b的乘积ab(或a·b)是不同的． 3．若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe. |a|2 三、平面向量数量积的性质及运算律 1．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔ ＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝ ； 当a与b反向时，a·b＝ ． 特别地，a·a＝ 或|a|＝ eq \r(a·a) . a·b |a||b| －|a||b| a·c＋b·c 记一记：1.(a·b)c＝a(b·c)不一定成立. 因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，如果c与a不共线，则式子不成立，即数量积不适合乘法结合律． (4)|a·b|≤|a||b|. 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝ (交换律). (2)(λa)·b＝ ＝ (结合律). (3)(a＋b)·c＝ (分配律). b·a λ(a·b) a·(λb) 2．在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0. 3．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量，该推理是不正确的，即a·b＝b·c⇒/ a＝c，也就是说数量积不适合消去律. 【基点小试】 1．已知|a|＝ eq \r(3) ，|b|＝2 eq \r(3) ，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　 ) A．3 B．－3 C．－3 eq \r(3) D．3 eq \r(3) 解析：由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝ eq \r(3) ×2 eq \r(3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－3. 答案：B 2．已知向量a，b满足 eq \b\l