2.6.1 第1课时 余弦定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第二章 平面向量及其应用 §6　平面向量的应用　 6．1　余弦定理与正弦定理　 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 其他两边的平方和 夹角余弦的积 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C sin A sin C sin B 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 [课程标准]　1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、 正弦定理．　2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 第一课时　余弦定理 1．余弦定理 文字 语言 三角形任何一边的平方等于 减去这两边与它们 的两倍 符号 语言 a2＝ ， b2＝ ， c2＝ 定理 推论 cos A＝ ，cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ，cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 2.三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素 三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 想一想：已知A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一个点C，通过测量计算得AC，BC的长度和∠ACB的大小，你能据此求出AB吗？ 提示：在△ABC中，利用余弦定理可得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB cos ∠ACB，代入数值计算并开方即可． 3．三角形的面积公式 任意三角形的面积等于其两边及其夹角正弦乘积的二分之一，即S＝ eq \f(1,2) bc ＝ eq \f(1,2) ac ＝ eq \f(1,2) ab ． 记一记：(1)余弦定理的特点 ①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． ②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． (2)解三角形 ①一般地，三角形的三个内角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素． ②已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． (3)判断三角形的形状时经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. (4)三角形的其他面积公式 ①S＝ eq \f(1,2) a·ha＝ eq \f(1,2) b·hb＝ eq \f(1,2) c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高). ②S＝ eq \f(1,2) (a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径). 说明：三角形的面积公式S＝ eq \f(1,2) ab sin C与原来的面积公式S＝ eq \f(1,2) ah(h为a边上的高)的关系为h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中边a上的高． 【基点小试】 1．在△ABC中，a＝1，c＝2，B＝60°，则b＝(　　 ) A．1 B．2 C． eq \r(2) D． eq \r(3) 解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12＋22－2×1×2× eq \f(1,2) ＝3， ∴ b＝ eq \r(3) . 答案：D 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝6，b＝7，c＝5，则sin C＝(　　 ) A． eq \f(\r(6),7) B． eq \f(5,7) C． eq \f(2\r(6),7) D． eq \f(\r(6),6) 解析：因为a＝6，b＝7，c＝5，所以cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(36＋49－25,2×6×7) ＝ eq \f(5,7) ， 则C为锐角，故sin C＝ eq \r(1－cos2C) ＝ eq \f(2\r(6),7) . 答案：C 3．在△ABC中，B＝45°，AC＝2，AB＝ eq \r(2) ，则边BC的长等于(　　) A． eq \r(3) ＋1 B． eq \r(3) －1 C． eq \r(3)