2.5.1 向量的数量积-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第二章 平面向量及其应用 §5　从力的做功到向量的数量积　 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 5．1　向量的数量积 [课程标准]　1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．　3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 一、向量的数量积的定义 向量a与b的夹角为θ(也可记作〈a，b〉)，|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 二、投影向量和投影数量 1．投影向量 已知两个非零向量a和b，作 eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝b， 过点A作AA′⊥OB，垂足为A′，得到向量γ＝ eq \o(OA′,\s\up6(→)) ， γ称为a在b上的投影向量． 2．投影向量的数量 |a|cos 〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，|a|cos 〈a，b〉＝|a|· eq \f(a·b,|a||b|) ＝a· eq \f(b,|b|) . 记一记：1.两向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值可正、可负、可为0.两个非零向量的数量积符号由夹角的余弦值决定． 2．两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、 b的乘积ab(或a·b)是不同的． 3．若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe. 三、数量积的运算性质 1．数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： (1)交换律：a·b＝b·a； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2．数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos 〈a，e〉； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b； (3)a·a＝|a|2，即|a|＝ eq \r(a·a) ； (4)cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) (|a||b|≠0)； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 想一想：向量的数量积满足消去律吗？ 提示：不满足．由a·b＝a·c不一定能得到b＝c. 记一记：1.(a·b)c＝a(b·c)不一定成立. 因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，如果c与a不共线，则式子不成立，即数量积不适合乘法结合律． 2．在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0. 3．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量，该推理是不正确的，即a·b＝b·c⇒/ a＝c，也就是说数量积不适合消去律. 【基点小试】 1．已知|a|＝ eq \r(3) ，|b|＝2 eq \r(3) ，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　 ) A．3 B．－3 C．－3 eq \r(3) D．3 eq \r(3) 解析：由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝ eq \r(3) ×2 eq \r(3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－3. 答案：B 2．已知向量a，b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) ＝2，a·b＝－1，则a·(a－2b)＝(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：由平面向量数量积的运算性质可得，a· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2b)) ＝a2－2a·b＝|a|2－2a·b＝22－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1)) ＝6. 答案：C 3．已知边长为1的正六边形ABCDEF，中心为O，则 eq \o(OA,\s\up6(→)) · eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝____________． 解析：因为正六边形ABCDEF边长为1，其中心为O，所以〈 eq \o(OA,\s\up6(→)) ， eq \o(OC,\s\up6(→)) 〉＝120°，| eq \o(OA,\s\up6(→)) |＝| eq