2.5.1向量的数量积课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

向量的数量积 力对物体所做的功是一个数量、它由力和位移两个向量来确定,功可以看作力F和位移s这两个向量的某种运算的结果 向量a与b的夹角 与向量的数量积的关系 在物理学中,若力F的方向与物体运动的方向成 角则有: 当0 ≤ <90 时,W>0,即力F做正功; 当 =90 时,W=0,即力F不做功; 当90 < ≤180 时,W<0,即力F做负功. 当0 < <90 时, cos >0,a b>0; 当90 < <180 时, cos <0,a b<0; 当 =90 时, cos =0, a b=0; 当 =0 时, cos =1, a b=; 当 =180 时, cos =-1, a b=-. 向量数量积:两个非零向量a与b,它们的夹角记为 (0 ≤ ≤180 ),a b=|a||b|cos 对于两个非零向量a与b,它们的夹角记为 (0 ≤ ≤180 ),则向量a与b数量积 a b=|a||b|cos 投影向量&投影数量 ——探究向量数量积的几何意义 如图,已知两个非零向量,作= , =,过点A向直线OB作垂线,垂足为A′,得到在上的投影 = =||cos < > , 称为投影向量. A O A′ B 其中:||cos < >称为投影向量的数量,也称为向量在向量方向上的投影数量,可以表示为 . 所以投影数量是数量积的特殊情况. 由向量投影的定义,可以得到向量的数量积的几何意义: 的长度||与在方向上的投影数量||cos 的乘积(如图);或的长度||与在方向上的投影数量||cos 的乘积. 数量积的几何意义 A O B ||cos A1 1.向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量相等吗? 思考 当且仅当两向量模相等时,相等. 2.当a≠0时, 由a b=0一定能得到b=0吗? 不一定.例如,当a⊥b时,即使b≠0,也有a b=0. 思考? ≤ 11 小试身手 12 13 14 15 16 课堂小结 向量的数量积 向量的数量积的定义 a b=|a||b|cos<a,b> 投影 投影向量 投影数量 向量数量积的运算性质 运算律 性质 [教材提炼] eq \a\vs4\al(预习教材,思考问题) 如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么? [提示] 力、位移都是矢量,夹角为 . [教材提炼] eq \a\vs4\al(预习教材,思考问题) 若此时,欲求力F所做的功,应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量? [提示] 由物理知识容易得到W=|F||s|cos ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中功是标量. 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b,它们的夹角记为〈a,b〉或 (0 ≤ ≤180 ),我们把 叫作a与b的数量积(或内积),记作a b,即a b= =|a||b|cos . 规定:零向量与任一向量的数量积为零. |a||b|cos〈a,b〉 |a||b|cos〈a,b〉 特别提醒 (1)“ ”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“ ”; (2)数量积的结果为数量,不再是向量; (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角 决定:当 是锐角时,数量积为正;当 是钝角时,数量积为负;当 是直角时,数量积等于零. 根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表,这些结果正确吗? 运算律 实数乘法 平面向量数量积 交换律 ab=ba a b=b a 结合律 (ab)c=a(bc) (a b) c=a (b c) ( a) b=a ( b)= (a b) 分配律 (a+b)c=ac+bc (a+b) c=a c+b c 除结合律中的 (a b) c=a (b c)是错误的,其他都是正确的. 数量积的性质: (1)若e是单位向量,则e a=a e=|a|cos〈a,e〉; (2)a⊥ba b=0(其中a,b为非零向量); (3)|a|=eq \r(a a); (4)cos〈a,b〉=eq \f(a b,|a| |b|)(|a||b|≠0); (5)对任意两个向量a,b,有|a b| |a||b|,当且仅当a∥b时等号成立. 1.已知实数 和非零向量a,b,下列选项中错误的是( ) A.|a|=eq \r(a a) B.|a b|=|a||b| C. (a b)= a b D.|a b|≤|a||b| 解析:当且仅当a,b的夹角为0或 时,|a b|=|a| |b|,故B错. 答案:B 2.已知三角形ABC中,eq \o(BA,\s\up14( )) eq \o(BC,\s\up14( ))<0,则三角形ABC的形状为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 解析:∵eq \o(BA,\s\up14( )) eq \o(BC,\s\up14( ))=|eq \o(BA,\s\up14( ))| |eq \o(BC,\s\up14( ))| cos B<0, ∴cos B<0,又∵B为 ABC的内角.∴eq \f( ,2)<B< . 答案:A 3.已知向量a,b的夹角为60 ,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=_. 解析:|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+2|a| |2b| cos 60 +(2|b|)2 =22+2 2 2 eq \f(1,2)+22=4+4+4=12, ∴|a+2b|=eq \r(12)=2eq \r(3). 答案:2eq \r(3) 4.已知|a|=1,|b|=eq \r(2),设a与b的夹角为 . (1)若 =eq \f( ,3),求|a-b|; (2)若a与a+b垂直,求 . [解] (1)∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a b+b2=|a|2-2|a||b|coseq \f( ,3)+|b|2 =1-2eq \r(2) eq \f(1,2)+2=3-eq \r(2), ∴|a-b|=eq \r(3-\r(2)). (2)若a与a+b垂直,则a (a+b)=0,∴a2+a b=0. ∵a b=-|a|2=-1,∴cos =eq \f(a b,|a||b|)=eq \f(-1,1 \r(2))=-eq \f(\r(2),2). ∵0 ≤ ≤180 ,∴ =135 . $$