2.4.2 向量向量及运算的坐标表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第二章 平面向量及其应用 §4　平面向量基本定理及坐标 表示　 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 和 (x1＋x2，y1＋y2) 差 (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) x1y2－x2y1＝0 (x2－x1，y2－y1) 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 4．2　平面向量及运算的坐标表示 [课程标准]　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．　2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差、数乘以及向量共线的坐标运算法则． 一、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作 eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝a(通常称 eq \o(OP,\s\up6(→)) 为位置向量).由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使 eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝xi＋yj.因此，a＝xi＋yj.我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y). 记一记：(1)向量的坐标与点的坐标的区别： ①当且仅当向量的始点为坐标原点时，向量坐标与终点坐标相同． ②(x，y)在平面直角坐标系中有双重含义，既可以表示一个点，也可以表示一个向量．为了区分，我们通常说点(x，y)，向量(x，y). ③向量坐标前带“＝”，而点的坐标前不带． (2)在平面直角坐标系中，以原点O为起点作 eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝a，设 eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝xi＋yj，则向量 eq \o(OP,\s\up6(→)) 的坐标(x，y)就是终点P的坐标；反过来，终点P的坐标(x，y)也就是向量 eq \o(OP,\s\up6(→)) 的坐标． 二、平面向量运算的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，平面向量的坐标运算法则如表所示： 运算 自然语言 坐标表示 加法 两个向量a，b的和的坐标等于这两个向量相应坐标的 a＋b＝ 减法 两个向量a，b的差的坐标等于这两个向量相应坐标的 a－b＝ 数乘 一实数λ与向量a的数乘坐标等于这个实数与向量相应的坐标的乘积 λa＝ ，λ∈R (2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a，b共线的充要条件是 ． (3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ ． 记一记：(1)两向量共线的充要条件可变形为x1y2＝x2y1，巧记为“外项积等于内项积”或“交叉相乘积相等”． (2)两个向量共线的坐标表示还可以写成 eq \f(x1,x2) ＝ eq \f(y1,y2) (x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 【基点小试】 1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则2a－3b＝(　　) A．(－8，3) B．(－8，－3) C．(8，3) D．(8，－3) 解析：由题意得2a－3b＝(2，6)－(－6，3)＝(8，3). 答案：C 2．(2023·湖南邵东高一检测)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝(　　 ) A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 解析：因为向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)， 所以b＝(3，2)－2a＝(3，2)－2(1，2)＝(1，－2). 答案：A 3．设 eq \o(OM,\s\up6(→)) ＝(3，1)， eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝(－5，－1)，则 eq \o(MN,\s\up6(→)) ＝(　　) A．(－8，－2) B．(8，2) C．(－8，2) D．(－2，2) 解析：因为 eq \o(OM,\s\up6(→)) ＝(3，1)， eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝(－5，－1)，所以 eq \o(MN,\s\up6(→)) ＝ eq \o(ON,\s\up6(→)) － eq \o(OM,\s\up6(→)) ＝(－5，－1)－(3，1)＝(－8，－2). 答案：A 4．已知a＝(－2，3)，b＝(1，5)，则3a＋b等于(　　) A．(－5，14)