2.4.1 平面向量基本定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第二章 平面向量及其应用 §4　平面向量基本定理及坐标 表示　 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 唯一 互相垂直 单位向量 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 4．1　平面向量基本定理 [课程标准]　理解平面向量基本定理及其意义． 1．平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在 的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基、正交基和标准正交基 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}．若基中的两个向量 ，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的 ，则称这组基为标准正交基． 【基点小试】 1．下列有关平面向量基本定理的四个命题中错误的是(　　) A．一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基 B．一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．平面的一组基可能互相垂直 D．一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合 解析：根据平面向量基本定理知一个平面内任何一对不平行的向量都可作为表示该平面所有向量的基，故A错误；一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面内所有向量的基，故B正确；平面向量的一组基只要不共线，也可能互相垂直，故C正确；一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，故D正确． 答案：A 2．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量的基的是(　　) A．{ eq \o(AB,\s\up6(→)) ， eq \o(DC,\s\up6(→)) } B．{ eq \o(AD,\s\up6(→)) ， eq \o(BC,\s\up6(→)) } C．{ eq \o(BC,\s\up6(→)) ， eq \o(CB,\s\up6(→)) } D．{ eq \o(AB,\s\up6(→)) ， eq \o(DA,\s\up6(→)) } 解析：由于 eq \o(AB,\s\up6(→)) ， eq \o(DA,\s\up6(→)) 不共线，所以可作为一组基． 答案：D 3．如图所示，已知 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝b， eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝3 eq \o(DC,\s\up6(→)) ，用a，b表示 eq \o(AD,\s\up6(→)) ，则 eq \o(AD,\s\up6(→)) 等于(　　) A．a＋ eq \f(3,4) b B． eq \f(1,4) a＋ eq \f(3,4) b C． eq \f(1,4) a＋ eq \f(1,4) b D． eq \f(3,4) a＋ eq \f(1,4) b 解析： eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) ( eq \o(AC,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) )＝a＋ eq \f(3,4) (b－a)＝ eq \f(1,4) a＋ eq \f(3,4) b. 答案：B 4．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　) A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4 解析：因为e1与e2不共线，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＝4y－7，,10－y＝2x，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.)) 答案：D 题型一　基的理解 【练一练】 1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基的是(　　) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1 解析：对于A，设e1＋e2＝λe1，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0，)) 所以无解； 对于B，设e1－2e2