2.3.1 向量的数乘运算&2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第二章 平面向量及其应用 §3　从速度的倍数到向量的数乘　 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 向量 相同 相反 0 －a λa＋μa λa＋λb λμ1a±λμ2b a＝λb 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 3．1　向量的数乘运算　3．2　向量的数乘与向量共线的关系 [课程标准]　1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．　2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 一、向量的数乘运算 1．定义：实数λ与向量a的乘积是一个 ，记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向 ； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向 ； 当λ＝0时，0a＝ ． (2)|λa|＝|λ||a|.这种运算称为向量的数乘． 由(1)(2)可知，(－1)a＝ ． 2．单位向量： 在非零向量a方向上的单位向量是 eq \f(a,|a|) . 记一记：1.数乘的理解 (1)数乘向量的结果仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数； (2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0； (3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算． 2．向量数乘的几何意义是把向量a沿着a的方向或反方向放大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向放大(λ＞1)或缩小λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<λ<1)) 倍；当λ＜0时，沿着a的反方向放大(|λ|＞1)或缩小|λ| eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|λ|<1)) 倍． 二、向量数乘的运算律 1．设λ，μ为实数，a，b为向量，那么 (1)(λ＋μ)a＝ ； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝ ． 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ1a±μ2b)) ＝ ． 三、共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使 ． 想一想：实数与向量的积与原向量之间的位置有怎样的关系？ 提示：若a≠0，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反，即λa与a是共线向量； 若a＝0或λ＝0，因为0与任意向量平行，所以λa与a是共线向量． 【基点小试】 1．(2a－b)－(2a＋b)等于(　　) A．a－2b B．－2b C．0 D．b－a 解析：原式＝2a－2a－b－b＝－2b. 答案：B 2．点C在直线AB上，且 eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝3 eq \o(AB,\s\up6(→)) ，则 eq \o(BC,\s\up6(→)) 等于(　　) A．－2 eq \o(AB,\s\up6(→)) B． eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→)) C．－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→)) D．2 eq \o(AB,\s\up6(→)) 解析：如图， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝3 eq \o(AB,\s\up6(→)) ，所以 eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(AB,\s\up6(→)) . 答案：D 3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记 eq \o(CA,\s\up6(→)) ＝m， eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝n，则 eq \o(CB,\s\up6(→)) 等于(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：因为BD＝2DA，所以 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝3 eq \o(AD,\s\up6(→)) ，所以 eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(CA,\s\up6(→)) ＋3 eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(CA,\s\up6(→)) ＋3( eq \o(CD,