2.1.2 向量的减法-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第二章 平面向量及其应用 §2　从位移的合成到向量的加 减法　 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 2．2　向量的减法　　　　 [课程标准]　借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算法则，理解其几何意义． 一、向量的减法 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b). 求两个向量差的运算叫做向量的减法． 二、向量减法的几何意义 作法一：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝b，则 eq \o(BA,\s\up6(→)) ＝a－b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 作法二：(相反向量法)在平面内任取一点O，作 eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \o(OD,\s\up6(→)) ＝－b，连接AB.由向量减法的定义知a－b＝a＋(－b)＝ eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OC,\s\up6(→)) ，在四边形OCAB中，OBCA，所以OCAB是平行四边形，所以 eq \o(BA,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝a－b. 记一记：1.向量减法的实质是向量加法的逆运算，向量减法的几何意义可以用口诀“共起点，尾相连，指被减”来记忆． 2．以向量 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为 eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝a＋b， eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝b－a， eq \o(DB,\s\up6(→)) ＝a－b，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该理解并会应用． 3．||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|的理解： (1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立． (2)当a，b不共线时，作 eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝b，则a＋b＝ eq \o(OB,\s\up6(→)) ，如图(1)所示，根据三角形的性质，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|. (3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|. 综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 注意每个等号取得的条件：|a＋b|＝|a|＋|b|或||a|－|b||＝|a－b|成立的条件是a与b同向共线；|a＋b|＝||a|－|b||以及|a－b|＝|a|＋|b|成立的条件是a与b反向共线． 【基点小试】 1．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是(　　) A．a与b的长度必相等 B．a∥b C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量 解析：根据相反向量的定义可知，C错误，因为0与0互为相反向量，但0与0 相等． 答案：C 2．如图， eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) － eq \o(AD,\s\up6(→)) 等于(　　 ) A． eq \o(AD,\s\up6(→)) B． eq \o(DC,\s\up6(→)) C． eq \o(DB,\s\up6(→)) D． eq \o(AB,\s\up6(→)) 解析：法一　 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) － eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \o(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(DC,\s\up6(→)) . 法二　 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) － eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) )－