1.8 三角函数的简单应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第一章 三角函数 §8　三角函数的简单应用 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 周期现象 周期变化 A 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 [课程标准]　1. 会用三角函数解决简单的实际问题．　2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 一、构造三角函数模型 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中 的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画 规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 二、三角函数在解决简单的实际问题 1．在物理学中，简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)(x∈[0，＋∞))描述简谐运动的物理量． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 eq \f(2π,ω) ωx＋φ φ 【基点小试】 1．初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为(　　) A．y＝v0t B．y＝v0t sin θ C．y＝v0t sin θ－ eq \f(1,2) gt2 D．y＝v0tcos θ 解析：由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ，故炮弹上升的高度y＝v0t sin θ－ eq \f(1,2) gt2，故选C. 答案：C 2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________． 解析：∵f(t)＝24sin 160πt＋110，∴T＝ eq \f(2π,ω) ＝ eq \f(2π,160π) ＝ eq \f(1,80) ，f＝ eq \f(1,T) ＝80， ∴此人每分钟心跳的次数为80. 答案：80 3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要______s往返一次． 解析：观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次． 答案：0.8 题型一　匀速圆周运动的数学模型 例1. 摩天轮轮盘直径为124 m，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145 m，匀速转动一周大约需要30 min.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． 经过t min后游客甲距离地面的高度为H m，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0，|φ|≤ eq \f(π,2) )，求摩天轮转动一周的解析式H(t)； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52 m? 解：(1)因为该摩天轮轮盘直径为124 m，且摩天轮最高点距离地面145 m， 所以摩天轮最低点距离地面145－124＝21(m)，即H(t)max＝145，H(t)min＝21， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－A＋B＝21，,A＋B＝145，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝62，,B＝83.)) 又摩天轮匀速转动一周大约需要30 min， 所以H(t)的最小正周期为T＝30，所以ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(2π,30) ＝ eq \f(π,15) ， 所以H(t)＝62sin ( eq \f(π,15) t＋φ)＋83.又H(0)＝62sin φ＋83＝21，所以sin φ＝－1. 因为|φ|≤ eq \f(π,2) ，所以φ＝－ eq \f(π,2) ，所以H(t)＝62sin ( eq \f(π,15) t－ eq \f(π,2) )＋83＝－62cos eq \f(π,15) t＋83， 所以摩天轮转动一周的解析式为H(t)＝－62cos eq \f(π,15) t＋83(0≤t≤30). 由(1)知，H(t)＝－62cos eq \f(π,15) t＋83(0≤t≤30)， 令－62cos eq \f(π,15) t＋83＝52，解得cos eq \f(π,15) t＝ eq \f(1,2) . 要求摩天轮第一次距离地面的高度为52 m，所以0≤t≤15， 所以0≤ eq \f(π,15) t≤π，所以 eq \f(π,15) t＝ eq \f(π,3) ，所以t＝5， 即游客甲坐上摩天轮后5 min，距离地面的高度第一次恰好达到52 m. [总结] 　实际问题中的匀速圆周运动如摩天轮上的一点离开地面的高度就是点P的纵坐标加上摩天轮中心与地面的距离，解类似问题时要注意初始位置的确定