1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第一章 三角函数 §4　正弦函数和余弦函数的概 念及其性质 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 纵坐标 横坐标 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 [课程标准]　1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．　2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1， eq \f(sinx,cos x) ＝tan x. 一、利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数 如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的 v叫作角α的正弦函数，记作 ；点P的 u叫作角α的余弦函数，记作 ． v＝sin α u＝cos α 二、利用角的终边上一点的坐标定义正弦函数、余弦函数 利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：如图所示，设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝ eq \r(x2＋y2) >0)，那么： (1)比值 eq \f(y,r) 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝ eq \f(y,r) . (2)比值 eq \f(x,r) 叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝ eq \f(x,r) . 三、正弦函数、余弦函数在各象限的符号 三角函数 函数函数 三角函数 象限 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 题型一　由单位圆求正弦函数值、余弦函数值 　　　　　　　　　　　　　　　　【练一练】 1．(2023·四川凉山期末)已知点P( eq \f(\r(5),5) ，－ eq \f(2\r(5),5) )是角α的终边与单位圆的交点，则cos α＝(　　 ) A．－ eq \f(2\r(5),5) B． eq \f(\r(5),5) C．－ eq \f(4,5) D．－ eq \f(3,5) 解析：因为点P( eq \f(\r(5),5) ，－ eq \f(2\r(5),5) )是角α的终边与单位圆的交点，所以cos α＝ eq \f(\r(5),5) . 答案：B 2．已知角θ(0<θ<2π)的终边上一点P的坐标为(cos eq \f(2π,3) ，sin eq \f(2π,3) )，则角θ的值为(　　 ) A．－ eq \f(π,6) B． eq \f(2π,3) C． eq \f(5π,3) D． eq \f(11π,6) 解析：由已知可得：角θ的终边上一点P的坐标为(－ eq \f(1,2) ， eq \f(\r(3),2) )，位于第二象限， 它到原点的距离为r＝ eq \r(\f(1,4)＋\f(3,4)) ＝1， eq \f(π,2) <θ<π， 则由任意角的三角函数的定义可知：sin θ＝ eq \f(\r(3),2) ，即θ＝ eq \f(2π,3) . 答案：B 3．(2023·吉林长春实验中学期末)点P从点(－1，0)出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转 eq \f(π,6) 到达点Q，则点Q的坐标是(　　 ) A．(－ eq \f(1,2) ， eq \f(\r(3),2) ) B．( eq \f(1,2) ，－ eq \f(\r(3),2) ) C．(－ eq \f(\r(3),2) ， eq \f(1,2) ) D．( eq \f(\r(3),2) ，－ eq \f(1,2) ) 解析：根据题意得OQ为终边的一个角为 eq \f(5π,6) ， 设Q(x，y)，根据三角函数的定义可得sin eq \f(5π,6) ＝y，cos eq \f(5π,6) ＝x，则y＝ eq \f(1,2) ，x＝－ eq \f(\r(3),2) ，所以Q(－ eq \f(\r(3),2) ， eq \f(1,2) ). 答案：C 题型二　由角的终边上的点求角的三角函数值 【练一练】 4．(2023·山东临沂期末)已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，且角α的终边上一点P(1，－2)，则sin α＝(　　 ) A． eq \f(1,5) B．－ eq \f(2,5) C． eq \f(2\r(5),5) D．－ eq \f(2\r(5),5)