第11讲 8.6.1 直线与直线垂直-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第11讲 8.6.1 直线与直线垂直 课程标准 学习目标 ①借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系。 ②.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角。 1、本节内容包含异面直线所成的角的定义，以及直线与直线垂直教材以正方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线所成的角的定义通过平移来研究异面直线所成的角是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题 2.通过本节课的学习，为学生后面学习空间直线、平面的垂直关系打下基础，同时更好地提升学生直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养 知识点01：异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 知识点02：异面直线所成角的范围 由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即. 注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是. 知识点3：两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直， 记作. 注意：两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直. 知识点04：异面直线所成的角的求解步骤 ①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角. ②证明：证明作出的角就是要求的角 ③计算：求角度（常利用三角形的有关知识） ④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就 是所求异面直线所成的角. 【即学即练1】（2024上·上海·高二专题练习）已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是 ． 【答案】 【详解】 如图，取中点，连接，， ∵，分别为，中点， ∴，且， ∴异面直线和所成角为或其补角， 在等边和等边中，， ∴在中，由余弦定理，有 ， ∴异面直线和所成的角的余弦值为. 故答案为：. 题型01 判断两直线是否为异面直线 【典例1】（2024上·上海·高二专题练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【典例2】（2024上·北京海淀·高二统考期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）． 【典例3】（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 . ①②③④ 【变式1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 ． 【变式3】（2023上·上海·高二校考期中）在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 题型02 求异面直线所成的角 【典例1】（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（    ） A．1 B． C．1或2 D．2或 【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为 ． 【变式1】（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）在长方体中，，则异面直线的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 . 题型03证明异面直线垂直 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）四面体ABCD中，对棱，E，F，G，H是它们所在棱的中点，求证：四边形EFGH是矩形． 【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABC