第05讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第05讲 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课程标准 学习目标 ①了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 1. 本节的主要内容是圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的表面积和体积教材首先利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，得出它们的表面积公式，然后根据以前学习过的圆柱、圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式，再结合棱柱、棱锥、校台的体积公式将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式最后给出了球的表面积公式，并由球的表面积公式推导出了球的体积公式 2.本节内容的重点是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用，难点是推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算； 3.本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等； 知识点01：圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积： 圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为. ②圆柱的表面积： . 【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 ．（取3.14） 【答案】102.28 【详解】正方体的表面积为，圆柱的侧面积为， 则挖洞后几何体的表面积为． 故答案为：102.28. （2）圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 ②圆锥的表面积： 【即学即练2】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以旋转体是底面半径为，高为，母线长为的圆锥， 所以表面积为， 故答案为：. （3）圆台的表面积 ①圆台的侧面积： 圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为 ②圆台的表面积： 【即学即练3】（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得上底面面积为，下底面面积为， 由图形可得，， 母线与下底面所成的角为，故， 故圆台的母线长为2，所以侧面积为， 所以该圆台的表面积为． 故选：C． 知识点02：圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 【即学即练4】（2024·全国·模拟预测）已知底面半径为4，高为8的圆锥，用一个平行于底面的平面去截该圆锥得到高相等的两个几何体，则截得圆台的体积为 ． 【答案】/ 【详解】由题意可知，圆台的上底面恰好是过圆锥的高的中点的截面， 故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，    则圆台的体积为， 故答案为： 知识点03：球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【即学即练5】（2024上·上海·高二统考期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 . 【答案】/ 【详解】依题意，球的半径，所以球的体积. 故答案为： 题型01圆柱的表面积与体积 【典例1】（2024上·全国·高三期末）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm，高为10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为 ． 【典例3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.    (1)若圆柱的底面半径，求剩余部分体积； (2)试求圆柱侧面积的最大值. 【变式1】（多选）（2024上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3，    (1)求该圆柱的体积和表面积 (2)直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积 【变式3】（2