2024年星光杯初赛暨GMC第三届冬季网络数学竞赛（高中组）一试（A）

— 1 — 2024 星光杯初赛暨 GMC 第三届冬季网络数学竞赛 （高中组）一试（A） 答题时间：12小时，满分：150 分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每题 5分，共 40 分。 1.若复数 z a bi  满足 1 1 4z z    ，则点  ,a b 的轨迹所围成的封闭图形 面积为（ ） A.2 B.3 C.2 3 D.3 3 2.设双曲线C： 2 2 2 2 11 x y a a    的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，P在C上一点， 且 1 2 0PF PF    ，若 1 2PF F 的面积为2a，则双曲线C的离心率为（ ） A. 3 B.2 C. 2 D. 5 3.正整数4096576的不同正因数个数为（ ） A.144 B.225 C.256 D.289 4.已知方程 3 2 1 0x x   的三个复数根分别为 1x 、 2x 、 3x ，令 1 2 3M x x x ， 1 2 3 1 2 2 3 1 33 x x xN x x x x x x     ，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N B.M N C.M N D.无法确定 5.定义域为  0, 的函数  f x 满足   12 2f x f xx        ，在区间  0,a 上 总存在一个实数M ，使得  0,x   ，  f x M 成立，若 2 2 6 3 M   ，则 a 的最小可能值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 — 2 — 6.在 ABC 中，内角 A、 B、C所对的边分别为a、b、 c，满足 cos 2cos 3cos a b c A B C   则 tan A的值为（ ） A. 1 B.1 C. 60 11  D. 6 7.设复数 1z i  ，若 2024nz  ，则正整数n的最大值为（ ） A.20 B.21 C.22 D.23 8.若不等式 8 1 2 2a b a b a b       对于任意的正实数a、b恒成立，则实数的取值范围为（ ） A.  ,9 3 B.  ,9 3  C.  0,9 3 D. 0,9 3 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。全部选对的得 6分， 部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.集合  2 1A x m x m    ，  14 2 5x xB y y     ，若 A B  ，则 实数m的可能取值为（ ） A. 1 B.0 C.2 D.3 10.一组样本数据 1x ， 2x ，， nx 的均值为3，方差为 4，再插入另外一组样 本数据 1nx  ， 2nx  ，， 2nx ，且该样本数据的均值为6，方差为5，则下列说 法正确的是（ ） A.总体样本数据的均值为4 B.总体样本数据的方差为5.75 C.总体样本数据的稳定程度比其他两组低 D.将总体样本数据扩大两倍，均值变大，方差不变 11.在 ABC 中， 90B  ， 2 2AC AB  ，D是 AC的中点， P、Q分别 为 ABD 、 BCD 的内切圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） — 3 — A.  21 34 4PB PC PB PC        B. ABD 内切圆的半径为 3 3 C. BCD 内切圆的半径为 32 3 2  D.PB PC QA QB       的最小值与最大值之和为41 22 3 三、填空题：本题共 3小题，每题 5 分，共 15分。 12.抛物线： 2 2y px （ 0p  ）的弦 AB过其焦点F ，过F 作直线 AB的垂 线交分别于C、D，若 2 6AB CD  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  3 3,C x y ，  4 4,D x y ，则 1 2 3 4x x x x   的值为 _________ 13.已知不等式   2 33 3 1 cos 1 1 sin x x x x           对于任意的0 x   恒成立，则实数的最大值为 _________ 14.给定大于2的正整数n， Ri  （1 i n  ），则   1 2 cosi j i j i j n S        的取值范围为 _________ . — 4 — 四、