4合一保分练(4) (专题微测)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 第二部分　综合·分层练 大题组合练 4合一保分练(4) 17.(10分)已知等差数列{an}的公差d=2,且a2+a5=2,{an}的前n项和为Sn。 (1)求{an}的通项公式; (2)若Sm,a9,a15成等比数列,求m的值。 解　(1)由a2+a5=2且d=2,可得2a1+5d=2a1+10=2,解得a1=-4,所以数列{an}的通项公式为an=-4+(n-1)×2=2n-6。 (2)由(1)知an=2n-6,可得Sm==m2-5m,a9=12,a15=24,因为Sm,a9,a15成等比数列,所以=Sma15, 整理得m2-5m-6=0,解得m=6或m=-1,又因为m∈N*,所以m=6。 4合一保分练(4) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 18.(12分)如图,已知在△ABC中,M为BC上一点,AB=2AC≤BC,B∈且sin B=。 (1)若AM=BM,求的值; (2)若AM为∠BAC的平分线,且AC=1,求△ACM的面积。 解　(1)因为sin B=,B∈,所以cos B==,因为AB=2AC,所以由正弦定理知==2,即sin C= 2sin B,因为AM=BM,所以∠AMC=2B,sin∠AMC=sin 2B=2sin Bcos B,在△AMC中,===cos B=。 (2)由题意知AB=2AC=2,由余弦定理得cos B==,解得BC=2或BC=。因为2AC≤BC,所以BC=2,因为AM为∠BAC的平分线,所以∠BAM=∠CAM,所以==(h为底边BC的高),所以==2,故CM=BC=,而由(1)知sin C=2sin B=,所以S△ACM=AC·CM·sin C=×1××=。 4合一保分练(4) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 19.(12分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3。E为PD的中点,点F在PC上,且=。   (1)求证:CD⊥平面PAD; (2)求二面角F⁃AE⁃P的余弦值; (3)设点G在PB上,且=。判断点G是否在平面AEF内,说明理由。 4合一保分练(4) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)证明:由于PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,则PA⊥CD,因为AD⊥CD,且PA∩AD=A,PA, AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD。 (2)在平面ABCD内,过A作AH⊥AD交BC于H,则AP,AH,AD三线两两垂直。以点A为坐标原点, 分别以AH,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0), P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),E(0,1,1),=+= (0,0,2)+(2,2,-2)=,=(0,1,1),设平面 AEF的法向量为m=(x,y,z),则取y=1,则平面AEF的一个法向量m=(1,1,-1),易知平面AEP的一个法向量为n=(1,0,0),所以cos<m,n>===,由图知二面角F⁃AE⁃P的平面角为锐角,故二面角F⁃AE⁃P的余弦值为。 (3)点G在平面AEF内,理由如下:易知B(2,-1,0),所以=+=+=(0,0,2)+(2,-1,-2)=,由(2)知,平面AEF的一个法向量为m=(1,1,-1),满足m·=0,又点A在平面AEF内,故直线AG在平面AEF内,所以点G在平面AEF内。 4合一保分练(4) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 20.(12分)已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,斜率不为0的直线l与椭圆C交于M,N两点,若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍,证明直线l经过定点,并求出定点的坐标。 证明　设直线l的方程为x=my+b,M(x1,y1),N(x2,y2),由题意得A(-2,0),B(2,0),由得(3m2+4)y2+6mby+3b2-12=0,则y1+y2=-,y1y2=,又kBM=,kAN=,所以=,化简得my1y2-(b+2)(y1+y2)+(3b-2)y2=0,将y1+y2= -,y1y2=代入上式,得(3b-2)=0,由于+y2不恒为0,所以3b-2=0,即b=,故x=my+过定点,即直线l过定点。 4合一保分练(4) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$