4合一保分练(2) (专题微测)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 第二部分　综合·分层练 大题组合练 4合一保分练(2) 17.(10分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,当n≥2时,1-=。 (1)求an与Sn; (2)若数列3,am,a2m,,,…,,…成等比数列,求m的值及k1+k2+…+kn。 解　(1)由1-=,得==(n≥2)。当n=1时,a1=2也满足=, 所以4Sn=+2an,4Sn+1=+2an+1。两式相减,得(an+1+an)(an+1-an-2)=0。因为an>0,所以an+1-an=2,所以数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,所以an=2+2(n-1)=2n,Sn==n2+n。 (2)由3,am,a2m成等比数列,得3a2m=,即3×4m=4m2。又m>0,解得m=3。因为==2,所以数列3,am,a2m,,,…,,…是首项为3,公比为2的等比数列,所以=2kn=3×2n+2,所以kn=3×2n+1,所以k1+k2+…+kn==3×2n+2-12。 4合一保分练(2) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 18.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sin C+sin B)(c-b)=a(sin A-sin B)。 (1)求角C的大小; (2)若∠ACB的平分线交AB于点D,且CD=2,AD=2DB,求△ABC的面积。 解　(1)由(sin C+sin B)(c-b)=a(sin A-sin B)及正弦定理,得(c+b)(c-b)=a(a-b),即a2+b2-c2=ab,所以由余弦定理的推论,得cos C=。因为C∈(0,π),所以C=。 (2)解法一:因为CD平分∠ACB,且AD=2DB,所以由角平分线定理,得==2,则有b=2a,AD=c,BD=c。由cos C== ,得c=a。又cos∠ACD==,将c=a代入,可得a=或a=。当a=时,c=,则DB+CB=+<2,故舍去,所以a=。所以S△ABC=absin C=××2×=。 解法二:因为CD平分∠ACB,且AD=2DB,所以==2,则有b=2a。因为S△ACD+S△BCD=S△ABC,所以×2×b×sin+× 2×a×sin=absin,则有a=a2,所以a=,所以S△ABC=absin=a2=。 4合一保分练(2) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 19.(12分)如图,四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面为梯形,AD=2BC=2,三个侧面ABB1A1,BCC1B1,CDD1C1均为正方形。   (1)证明:平面ABD1⊥平面BDD1; (2)求二面角A1⁃BD1⁃D的余弦值。 4合一保分练(2) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)证明:因为侧面ABB1A1,BCC1B1,CDD1C1均为正方形,所以B1B⊥AB,B1B⊥BC,AB=CD=BC=1。 又因为AB∩BC=B,AB,BC⊂底面ABCD,所以B1B⊥底面ABCD。由直棱柱定义可知,该四棱柱为直四 棱柱,则D1D⊥平面ABCD。又因为AB⊂平面ABCD,所以D1D⊥AB。又因为平面ABCD为梯形,所以 AD//BC。过C作CE⊥AD,垂足为E(图略),则DE=×(2-1)=CD,所以∠CDE=60°,则∠BCD=120°。 在等腰三角形BCD中,BD=2=。因为AD2=AB2+BD2,所以AB⊥BD。因为BD∩D1D= D,BD,DD1⊂平面BDD1,所以AB⊥平面BDD1。又因为AB⊂平面ABD1,所以平面ABD1⊥平面BDD1。 (2)以A为坐标原点,以AD,AA1所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,如图。则A(0,0,0),A1(0,0,1), B,D(0,2,0),D1(0,2,1),所以=(0,2,0),=,=。设平面A1BD1的法向量为m=(x1,y1,z1),则即取x1=2,得y1=0,z1=,则m=(2,0,)为平面A1BD1的一个法向量。由(1)可知,AB⊥平面BDD1,所以为平面BDD1的一个法向量,记为n=。所以cos<m,n>== =。由题图可知,二面角A1⁃BD1⁃D的平面角为钝角。故二面角A1⁃BD1⁃D的余弦值为-。 4合一保分练(2) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 20.(12分)相关数据显示,越来越多的消费者愿意消费知识产品,以实现个人爱好及职场技能等方面的提升。自2016年以来,中国知识付费行业用户规模,从0.5亿人快速增长到2022年的4.8亿人。下表数据为2018年～2022年中国知识付费消费者规模(单位:亿人),其中2018年～2022年对应的代码依次