2合一提分练(3) (专题微测)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 第二部分　综合·分层练 大题组合练 2合一提分练(3) 21.(12分)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左顶点和下顶点,P为直线x=3上的动点,的最小值为。 (1)求E的方程; (2)设PA与E的另一交点为D,PB与E的另一交点为C,问是否存在点P,使得四边形ABCD为梯形,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由。 2合一提分练(3) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)设P(3,t),由题意得A(-a,0),B(0,-1),则=(a+3,t),=(3,1+t)。所以=9+3a+t2+t=+3a+,于是当t=-时,取得最小值3a+,所以3a+=,解得a=2。所以E的方程为+y2=1。 (2)假设存在点P(3,t)满足题设,设D(x1,y1),则=(x1+2,y1),由题意可知=(5,t),存在λ∈(0,1),使得=λ, 即整理得代入+y2=1中,有+(λt)2=1　①。设C(x2,y2),则=(x2,y2+1)。 由题意可知=(3,t+1)。 因为四边形ABCD为梯形,所以AB//CD,所以=λ,即整理得代入+y2=1中, 有+(λt+λ-1)2=1　②。①-②得λ(λ-1)(3-2t)=0,又λ∈(0,1),所以t=。故存在点P,使得四边形ABCD为梯形。 2合一提分练(3) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 22.(12分)已知a为实数,函数f(x)=aln x+x2-4x。 (1)是否存在实数a,使得f(x)在x=1处取得极值?证明你的结论; (2)设g(x)=(a-2)x,若存在x0∈,使得f(x0)≤g(x0)成立,求实数a的取值范围。 解　(1)不存在实数a,使得f(x)在x=1处取得极值。证明如下:函数f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x-4=。假设存在实数a,使f(x)在x=1处取得极值,则f'(1)=0,所以a=2,此时f'(x)=,当x>0时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x=1不是f(x)的极值点。故不存在实数a,使得f(x)在x=1处取得极值。 (2)由f(x0)≤g(x0),得 (x0-ln x0)a≥-2x0,记F(x)=x-ln x(x>0),则F'(x)=(x>0),所以当0<x<1时,F'(x)<0,F(x)单调递减;当x>1时,F'(x)>0,F(x)单调递增。所以F(x)≥F(1)=1>0,所以a≥,记G(x)=,x∈,则G'(x)==。因为x∈,所以2-2ln x=2(1-ln x)≥0,所以x-2ln x+2>0,所以x∈时,G'(x)<0,G(x)单调递减;当x∈(1,e)时,G'(x)>0,G(x)单调递增,所以G(x)min=G(1)=-1,所以a≥G(x)min=-1。故实数a的取值范围为[-1,+∞)。 2合一提分练(3) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$