专题6 培优微专题 极值点偏移的4种技法(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题六 函数与导数 培优微专题 极值点偏移的4种技法 1.已知函数f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0,若f(x)=c的两根的中点刚好满足=x0,即极值点在两根的正中间,也就是说极值点没有偏移,此时函数f(x)在x=x0两侧,函数值变化快慢相同,如图①所示。若≠x0,则极值点偏移,此时函数f(x)在x=x0两侧,函数值变化快慢不同,如图②③所示。 ①(无偏移,左右对称,二次函数) 若f(x1)=f(x2),则x1+x2=2x0 ②(左陡右缓,极值点向左偏移) 若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2x0 ③(左缓右陡,极值点向右偏移) 若f(x1)=f(x2),则x1+x2<2x0 2.设a,b>0,a≠b,则>>,其中被称为对数平均数,上述不等式称为对数均值不等式。 培优微专题　极值点偏移的4种技法 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 技法一　对称构造法 【例1】　已知函数f(x)=xln x-x,两相异正实数x1,x2满足f(x1)=f(x2)。求证:x1+x2>2。 证明　f'(x)=ln x,当x∈(0,1)时,f(x)单调递减,当x>1时,f(x)单调递增,且f(1)=-1,如图所示,不妨设x1<1<x2,要证x1+x2>2,即证x2>2-x1,只需要证f(2-x1)<f(x2),又f(x1)=f(x2),所以只需证f(2-x1)<f(x1),设g(x)=f(x)-f(2-x)(x∈(0,1)),则g'(x)=f'(x)-[f(2-x)]'=ln x+ln(2-x),0<x<1,再设h(x)=ln x+ln(2-x),0<x<1,则h'(x)=-=>0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,所以h(x)<h(1)=0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,所以g(x)>g(1)=0,所以f(x)-f(2-x)>0(0<x<1),所以f(x1)>f(2-x1),所以x1+x2>2。 培优微专题　极值点偏移的4种技法 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　对称构造法构造辅助函数:对结论x1+x2>2x0型,构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x);对结论x1x2>型,方法一是构造函数F(x)=f(x)-f,通过研究F(x)的单调性获得不等式;方法二是两边取对数,转化成ln x1+ln x2>2ln x0,再把ln x1,ln x2看成两变量即可。 培优微专题　极值点偏移的4种技法 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(2022·全国甲卷)已知函数f(x)=-ln x+x-a。 (1)若f(x)≥0,求a的取值范围; (2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1。 解　(1)由题意可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+1=。令f'(x)=0,解得x=1。当x∈(0,1)时, f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0。所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(1)=e+1-a。若f(x)≥0, 则f(x)min=e+1-a≥0,解得a≤e+1。故a的取值范围为(-∞,e+1]。 (2)证明:由(1)可知,要使f(x)有两个零点,则f(x)min=f(1)=e+1-a<0,即a>1+e。假设0<x1<1<x2,要证明x1x2<1,即需证明 1<x2<。又因为f(x)在x∈(1,+∞)上单调递增,所以要证明1<x2<,则需证明f(x2)<f,即f(x1)<f。令F(x)=f(x)-f, 0<x<1,则F'(x)=f'(x)+f'·=。因为ex在x∈(0,1)上单调递增,所以ex<e,所以当x∈(0,1)时,ex+x<e+1。 又函数y=x在(0,1)上单调递减,所以x>e,所以-x-1<-e-1,所以ex+x-x-1<e+1-e-1=0,所以当x∈(0,1)时,F'(x)>0,则 F(x)在(0,1)上单调递增。因为F(1)=f(1)-f(1)=0,所以F(x)<0,即f(x)<f(0<x<1),所以若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1。 培优微专题　极值点偏移的4种技法 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 技法二　比值代换法 【例2】　已知函数f(x)=xa-aln x-b(a≠0)。 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若a>0,b>1,证明:f(x)存在两个零点x1,x2,且+>2。 解　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=axa-1-=(xa-1)。若a<0,则当x∈(0,1)时,<0,xa-1>0,所以f'(x)<0,f(x)在(0,1)