专题6 第4讲 探究3 导数与函数零点(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 函数与导数 专题六 第4讲　导数考向探究 探究3　导数与函数零点 【典例】　(2023·沈阳教学质量监测(一))已知f(x)=(x2-2x)ln x+x2+2(1-a)x,a>0。 (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围。 解　(1)由题意得f'(x)=2(x-1)ln x+(x2-2x)+(2a-1)x+2(1-a)=2(x-1)(ln x+a)。因为a>0,所以0<e-a<1,当x∈(0,e-a)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e-a,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增。综上,f(x)在(0,e-a)和(1,+∞)上单调递增,在(e-a,1)上单调递减。 (2)由(1)得f(x)的极大值为f(e-a),极小值为f(1),f(e-a)=(e-2a-2e-a)ln e-a+e-2a+2(1-a)e-a=e-a>0,f(1)=-a+。 ①当f(1)>0,即a<时,由f(x)的单调性得,f(x)在(e-a,+∞)上恒为正,无零点,在(0,e-a)上至多有一个零点,不符合题意。 第4讲　探究3　导数与函数零点 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 ②当f(1)<0,即a>时,f(2)=0+4+4(1-a)=2>0,由函数零点存在定理得,f(x)在区间(1,2)上存在一个零点。取x∈(0,1),则-2<x-2<-1,ln x<0,x>0,所以x∈(0,1)时,f(x)=x>x[(-1)ln x+0+2(1-a)],当x∈(0,e2(1-a))时,f(x)>0,由于f(x)在区间(0,e-a)上单调递增,故f(x)在(0,e-a)上恒为正,无零点,由零点存在定理得,f(x)在区间(e-a,1)上存在一个零点,故f(x)有两个零点,符合题意。 ③当f(1)=0,即a=时,由对②的分析可得f(x)在区间(0,e-a)上恒为正,无零点,f(x)仅有一个零点1,不符合题意。综上,a的取值范围是。 第4讲　探究3　导数与函数零点 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　(1)三步求解函数零点(方程根)的个数问题。第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题;第二步:利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质;第三步:结合图象求解。 (2)已知零点求参数的取值范围:①结合图象与单调性,分析函数的极值点;②依据零点确定极值的范围;③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论。 第4讲　探究3　导数与函数零点 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练1】　已知函数f(x)=x-2sin x。 (1)求f(x)在(0,π)上的极值; (2)证明:函数g(x)=ln x-f(x)在(0,π)上有且只有两个零点。 解　(1)由f(x)=x-2sin x,得f'(x)=1-2cos x,当x∈(0,π)时,令f'(x)=0,可得x=,当0<x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当<x<π时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以函数f(x)在(0,π)上的极小值为f=-,无极大值。 第4讲　探究3　导数与函数零点 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)证明:g(x)=ln x-f(x)=ln x-x+2sin x,则g'(x)=-1+2cos x,令φ(x)=+2cos x-1,则φ'(x)=--2sin x。当x∈(0,π)时,φ'(x)<0,则φ(x)在(0,π)上单调递减,因为φ=>0,φ=-1<0,所以存在x0∈,使得φ(x0)=0。 当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表: 因为g=ln-+>0,g(π)=ln π-π<ln e2-π=2-π<0,所以g(x0)>g>0,又当x→0时,g(x)→-∞,所以g(x)在(0,x0)和(x0,π)上各有一个零点,所以函数g(x)在(0,π)上有且只有两个零点。 x (0,x0) x0 (x0,π) g'(x) + 0 - g(x) 单调递增 极大值 单调递减 第4讲　探究3　导数与函数零点 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练2】　已知函数f(x)=(2x2-3x)ex,g(x)=aln x(a∈R,x>0)。 (1)求f(x)的最小值; (2)设f'(x)为f(x)的导函数,若函数h(x)=-g(x)有且仅有一个零点,求实数a的取值范围。 解　(1)由题得f'(x)=(2x2+x-3)ex=(x-1)(2x+3)ex,当x∈时,