专题6 第4讲 探究2 导数与不等式恒成立(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 函数与导数 专题六 第4讲　导数考向探究 探究2　导数与不等式恒成立 【典例】　(2023·全国甲卷)已知f(x)=ax-,x∈。 (1)当a=8时,讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)<sin 2x,求a的取值范围。 解　(1)f'(x)=a-=a-=a-,令cos2x=t,则t∈(0,1),则f'(x)=h(t)=a-=。当a=8时,f'(x)=h(t)==。当t∈,即x∈时,f'(x)<0。当t∈,即x∈时,f'(x)>0。 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减。 第4讲　探究2　导数与不等式恒成立 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)设g(x)=f(x)-sin 2x,则g'(x)=f'(x)-2cos 2x=h(t)-2(2cos2x-1)=-2(2t-1)=a+2-4t+-,设φ(t)=a+2-4t+-,则φ'(t)=-4-+==->0,所以φ(t)<φ(1)=a-3。 若a∈(-∞,3],则g'(x)=φ(t)<a-3≤0,即g(x)在上单调递减,所以g(x)<g(0)=0。 所以当a∈(-∞,3]时,f(x)<sin 2x,符合题意。 若a∈(3,+∞),当t→0时,-=-3+→-∞,所以φ(t)→-∞。又φ(1)=a-3>0,所以∃t0∈(0,1),使得φ(t0)=0,即∃x0∈,使得g'(x0)=0。当t∈(t0,1)时,φ(t)>0,即当x∈(0,x0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增。所以当x∈(0,x0)时,g(x)>g(0)=0,不合题意。综上,a的取值范围为(-∞,3]。 第4讲　探究2　导数与不等式恒成立 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (1)写出函数的具体表达式,对函数求导,利用导函数的正负符号判定原函数的单调性。 (2)构造函数,利用导函数的正负符号确定新函数的单调性,对参数分类讨论进而得到参数a的取值范围。 第4讲　探究2　导数与不等式恒成立 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练1】　已知函数f(x)=ex-ax-1。若f(x)≤x2在x∈[0,+∞)上有解,求实数a的取值范围。 解　因为f(x)≤x2在[0,+∞)上有解,所以ex-x2-ax-1≤0在[0,+∞)上有解,当x=0时,不等式成立,此时a∈R;当x>0时,a≥-在(0,+∞)上有解,令g(x)=-,则g'(x)=-=。显然当x>0时,ex>x+1,即ex-(x+1)>0,当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,g(x)min=e-2,所以a≥e-2。综上可知,实数a的取值范围是[e-2,+∞)。 第4讲　探究2　导数与不等式恒成立 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练2】　(2023·广东省一模)已知函数f(x)=xex+1。 (1)求f(x)的极值; (2)当x>0时,f(x)≥(a+1)x+ln x+2,求实数a的取值范围。 解　(1)求导得f'(x)=(x+1)ex+1,令f'(x)>0得x>-1,令f'(x)<0得x<-1,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(-1)=-1,无极大值。 (2)解法一:由题知不等式xex+1≥(a+1)x+ln x+2在x∈(0,+∞)上恒成立,等价于不等式xex+1-ln x-x-2≥ax在x∈(0,+∞)上恒成立。记g(x)=xex+1-ln x-x-2,则g'(x)=(x+1)ex+1--1=(x+1),记h(x)=ex+1-,则h'(x)=ex+1+>0恒成立,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=e2-1>0,h=-e2<0,所以存在x0∈,使得h(x0)=0,即当0<x<x0时,h(x)<0,此时g'(x)<0,当x>x0时,h(x)>0,此时g'(x)>0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增。由h(x0)=-=0,得=,即x0=,ln x0=-x0-1,所以g(x)≥g(x0)=x0-ln x0-x0-2=x0·+x0+1-x0-2=0。①当a≤0时,因为当x>0时,g(x)=xex+1-ln x-x-2≥0,ax≤0,所以不等式恒成立,所以a≤0;②当a>0时,因为存在x0∈,使得g(x0)=0,而ax0>0,所以xex+1-ln x-x-2≥ax不恒成立,所以a无解。综上所述,a的取值范围为(-∞,0]。 第4讲　探究2　导数与不等式恒成立 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里