专题6 第3讲 导数与函数的单调性、极值与最值(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 函数与导数 专题六 第3讲　导数与函数的单调性、 极值与最值 命|题|分|析 　　1.此部分内容是高考命题的热点内容。在选择题、填空题中多考查导数的几何意义。 2.应用导数研究函数的单调性、极值与最值,多在选择题、填空题最后几题的位置考查,属综合性问题。有时也常在解答题的第(1)问中考查。 第3讲　导数与函数的单调性、极值与最值 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 考点整合·真题感悟 第3讲　导数与函数的单调性、极值与最值 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 [知识提炼] 1.导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)。 求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点。 第3讲　导数与函数的单调性、极值与最值 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 2.四个易误导数公式 (1)(sin x)'=cos x; (2)(cos x)'=-sin x; (3)(ax)'=axln a(a>0,且a≠1); (4)(logax)'=(a>0,且a≠1,x>0)。 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系。 ①f'(x)>0(f'(x)<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)≥0。 ②f'(x)≥0(f'(x)≤0)是f(x)为增(减)函数的必要不充分条件,如果函数在某个区间内恒有f'(x)=0时,则f(x)为常数函数。 (2)利用导数研究函数单调性的方法。 ①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0。 ②若已知函数的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立的问题来求解。 第3讲　导数与函数的单调性、极值与最值 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 4.利用导数研究函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值。 (2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得。 若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件。函数的极值点必须是导数的变号零点。 第3讲　导数与函数的单调性、极值与最值 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 [真题体验] 1.(2023·全国乙卷)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2) B.(-∞,-3) C.(-4,-1) D.(-3,0) 解析　f(x)=x3+ax+2,则f'(x)=3x2+a,若f(x)要存在3个零点,则f(x)要存在极大值和极小值,则a<0,令f'(x)=3x2+a=0,解得x=-或x=,且当x∈∪时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,故f(x)的极大值为f,极小值为f,若f(x)存在3个零点,则即解得a<-3,故选B。 B 第3讲　导数与函数的单调性、极值与最值 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 2.(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则(　　) A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea 解析　解法一:(数形结合法)设切点(x0,y0),y0>0,则切线方程为y-b=(x-a),由 得(1-x0+a)=b,则由题意知关于x0的方程(1-x0+a)=b 有两个不同的解。设f(x)=ex(1-x+a),则f'(x)=ex(1-x+a)-ex=-ex(x-a),由f'(x)=0,得x=a, 所以当x<a时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>a时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(a)=ea(1-a+a)=ea,当x<a时,a-x>0,所