专题5 培优微专题 圆锥曲线的二级结论的应用(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题五 解析几何 培优微专题 圆锥曲线的二级结论的应用 　　圆锥曲线是高中数学的重要内容之一,知识的综合性较强,因而解题时需要运用多种基础知识,采用多种数学手段,熟记各种定义、基本公式。法则固然很重要,但要做到迅速、准确地解题,还要掌握一些常用结论,正确灵活地运用这些结论,一些复杂的问题便能迎刃而解。 类型一　椭圆、双曲线的二级结论 　　1.焦点三角形 焦点三角形的面积公式:P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的一点,F1,F2为焦点,且∠F1PF2=θ,则椭圆中=b2·tan,双曲线中=。 培优微专题　圆锥曲线的二级结论的应用 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【例1】　(2023·安徽六安模拟)具有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,P为两曲线的一个公共点,且满足·=0,则的值为(　 　) A. B.1 C.2 D.不确定 C 解析　解法一:设椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,因为P为两曲线的一个公共点,所以|PF1|+|PF2|=2a1, ||PF1|-|PF2||=2a2,两式平方并相加得|PF1|2+|PF2|2=2+2,又·=0,所以PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2= |F1F2|2=4c2,所以+=2c2,所以+=2,即+==2。故选C。 解法二:设椭圆的短半轴长为b1,双曲线的虚半轴长为b2,|F1F2|=2c,由题意知tan 45°=,那么=,=,即-1=1-,所以+==2。故选C。 培优微专题　圆锥曲线的二级结论的应用 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　这里用到了椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式,即S=tan,S=,其中b1,b2分别是椭圆的短半轴长、双曲线的虚半轴长,∠F1PF2=θ。 培优微专题　圆锥曲线的二级结论的应用 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为e=,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=,已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为(　 　) A.2 B.4 C.6 D.12 D 解析　由e=,得=,即a=2c　①。设△F1PF2的内切圆的半径为r,因为△F1PF2的内切圆的面积为3π,所以πr2=3π,解得r=(舍负),在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,知=b2tan=r(2a+2c),即b2=(a+c)　②,又a2=b2+c2　③,联立①②③得c=3,a=6,b=3,所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12。 培优微专题　圆锥曲线的二级结论的应用 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　2.焦半径的数量关系 焦半径的数量关系式:直线l过椭圆的焦点F与椭圆相交于A,B两点,则+=,同理,双曲线中,+=。 【例2】　已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),过F2的直线与C的右支交于A,B两点。若= 2,|AB|=|F1B|,则双曲线C的方程为  。  -=1 解析　如图,令|F2B|=t,则|AF2|=2t,所以|AB|=3t,|F1B|=3t,又+=,所以+=,即=,又|F1B|-|F2B|=2a,所以3t-t=2a,所以2t=2a,所以t=a,所以=,即3b2=4a2,又c=,所以a2+b2=7,解得b2=4,a2=3,故双曲线C的方程为-=1。 使用公式+=的前提是直线AB过焦点F,若焦点F不在直线AB上时,此公式不成立。 培优微专题　圆锥曲线的二级结论的应用 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　已知椭圆C:+=1,过右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点,且|AF2|=2,则|AB|=  ,cos∠F1AB= 。 解析　由椭圆方程知a=4,b=2,|AF2|=2,又+=,即+=,解得|BF2|=,所以|AB|=|AF2|+|BF2|=,由椭圆定义知|AF1|=8-2=6,|BF1|=8-=,在△AF1B中,由余弦定理,得cos∠F1AB==-。 培优微专题　圆锥曲线的二级结论的应用 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　3.第三定义 椭圆、双曲线的第三定义是:已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点,A,B为长轴(或实轴)端点,则椭圆中kPA·kPB=-,双曲线中kPA·kPB=。 培优微专题　圆锥曲线的二级结论的应用 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字