专题5 第3讲 探究4 定值问题(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题五 解析几何 第3讲　圆锥曲线考向探究 探究4　定值问题 【典例】　(2023·重庆八中模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(-2,0),B两点。 (1)求椭圆C的方程; (2)F为椭圆C的右焦点,直线l交椭圆C于P,Q(不与点A重合)两点,记直线AP,AQ,l的斜率分别为k1,k2,k,若k1+k2=-,证明△FPQ的周长为定值,并求出该定值。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究4　定值问题 解　(1)由已知设椭圆C的方程为+=1(p>0,q>0,p≠q),将A(-2,0),B代入上式,得p=2,q=, 故椭圆C的方程为+=1。 (2)设直线l:y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得关于x的方程(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ>0, 则x1+x2=,x1x2=。k1==,k2=, 所以k1+k2=+= ==。 由k1+k2=-,得m2-3km+2k2=0,即(m-2k)(m-k)=0,得m=2k或m=k。①当m=2k时,直线l:y=kx+2k=k(x+2),过定点A(-2,0),与已知不符,舍去;②当m=k时,直线l:y=kx+k=k(x+1),过定点(-1,0),符合题意。综上,直线l恒过椭圆的左焦点(-1,0),则△FPQ的周长为定值,定值为4p=8。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究4　定值问题 　　求解定值问题的两大途径 (1)几何法:利用几何特征,如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义得出定值,本例即应用椭圆的定义求出定值。 (2)代数法:先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究4　定值问题 【变式训练1】　已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点A(2,1),过右焦点F2作x轴的垂线交椭圆于M,N两点,且|MN|=。 (1)求椭圆C的方程; (2)点P,Q在椭圆C上,且kAP·kAQ=,AD⊥PQ,垂足为D,证明:存在定点S,使得|DS|为定值。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究4　定值问题 解　(1)由题得可得所以椭圆C的方程为+=1。 (2)证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),因为kAP·kAQ=,所以·=,即(x1-2)(x2-2)-3(y1-1)(y2-1)=0　①,当直线PQ的斜率存在时,设PQ的方程为y=kx+m,与椭圆方程联立消去y整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0,Δ>0,x1+x2=,x1x2=。 将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入①式并整理,得(1-3k2)x1x2-(3km+2-3k)(x1+x2)+1+6m-3m2=0,则m2-2(4k+3)m-5(4k2-1)=0, 即[m-5(2k+1)][m+(2k-1)]=0。当m=-(2k-1)时,y=kx+m=kx-2k+1=k(x-2)+1,过点A(2,1),不符合条件。 当m=5(2k+1)时,y=kx+m=kx+5(2k+1)=k(x+10)+5,此时直线PQ恒过点(-10,5)。 当直线PQ的斜率不存在时,点P(x1,y1),Q(x1,-y1),此时(x1-2)2+3-3=0,结合+=1,解得x1=-10(舍去)或x1=2,与点A重合,不符合条件。所以直线PQ的斜率一定存在,且直线PQ恒过定点E(-10,5),连接AE,则|AE|为定值,且△ADE为直角三角形,AE为斜边,所以AE的中点S满足|DS|为定值,点S的坐标为(-4,3)。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究4　定值问题 【变式训练2】　已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点G是椭圆上一点。直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,且四边形OAGB为平行四边形。求证:平行四边形OAGB的面积为定值。 证明　设A(x1,y1),B(x2,y2),G(x0,y0),将y=kx+m代入+=1, 消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ=16(12k2-m2+3)>0, 则x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,因为四边形OAGB为平行四边形, 所以=+=(x1+x2,y1+y2),得G,将G点坐标代入椭圆C的方程得m2=(1+4k2), 点O到直线AB的距离为d=,|AB|=|x1-x2|,所以平行四边形OAGB的面积为 S=d·|AB|=|m||x1-x2|=|m|=4·=4·=4·=3。 故平行四边形OAGB的