专题5 第3讲 探究2 最值(范围)问题(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题五 解析几何 第3讲　圆锥曲线考向探究 探究2　最值(范围)问题 【典例】　(2023·全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4。 (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且·=0,求△MFN面积的最小值。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究2　最值(范围)问题 解　(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由可得y2-4py+2p=0,所以yA+yB=4p,yAyB=2p,所以|AB|= =|yA-yB|=×=4,即2p2-p-6=0,因为p>0,解得p=2。 (2)因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零,设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),由可得y2-4my-4n=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4n,Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0,因为·=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入,得4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0, 所以n≠1,且n2-6n+1≥0,解得n≥3+2或n≤3-2。设点F到直线MN的距离为d,所以d=, |MN|= =|y1-y2|===2|n-1|, 所以△MFN的面积S=×|MN|×d=×2|n-1|×=(n-1)2,而n≥3+2或n≤3-2, 所以,当n=3-2时,△MFN的面积Smin=(2-2)2=12-8。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究2　最值(范围)问题 　　本题第(2)问,可设直线MN:x=my+n,联立方程,然后根据向量的数量积为零,找到m,n的关系,一是为了减元,二是通过相互的制约关系找到各自的范围,为得到的三角形面积公式提供定义域支持,从而求出面积的最小值。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究2　最值(范围)问题 【变式训练1】　(2023·河北秦皇岛测试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8。 (1)求椭圆C的方程; (2)若直线l:x-my-1=0(m≠0)与x轴交于点M,与椭圆C交于P,Q两点,过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N,求△MNQ面积的最大值。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究2　最值(范围)问题 解　(1)设椭圆C的焦距为2c,则其离心率e==,所以==,即1-=,得a=2b,则c=b。又椭圆C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8,所以4×bc=8,即bc=4。综上,得a2=16,b2=4,所以椭圆C的方程为+=1。 (2)易得M(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),则N(x1,-y1),由得关于y的二次方程(m2+4)y2+2my-15=0,Δ>0,则y1+y2= -,y1y2=-。S△PQN=×|2y1|×|x2-x1|,S△PMN=×|2y1|×|1-x1|,易知x2-x1与1-x1同号,所以S△MNQ=S△PQN-S△PMN=|y1|×(|x2-x1|-|1-x1|)=|y1|×|(x2-x1)-(1-x1)|=|y1|×|x2-1|=|y1|×|my2|=|my1y2|===,当且仅当|m|=,即m=±2时等号成立。所以△MNQ面积的最大值为。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究2　最值(范围)问题 【变式训练2】　(2023·南京、盐城一模)如图,已知椭圆+y2=1的左、右顶点分别为A,B,点C是椭圆上异于A,B的动点,过原点O且平行于AC的直线与椭圆交于点M,N,AC的中点为点D,直线OD与椭圆交于点P,Q,点P,C,M在x轴的上方。     (1)当|AC|=时,求cos∠POM; (2)求|PQ|·|MN|的最大值。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究2　最值(范围)问题 解　(1)设C(m,n),则-2<m<2。因为A(-2,0),|AC|=,所以(m+2)2+n2=5,结合+n2=1,解得m=0。因为点C在x轴上方,所以n>0,则n=1,点C的坐标为(0,1)。因为D为线段AC的中点,所以点D的坐标为, 解法一:所以kAC=,kOP=kOD=-。因为直线MN过原点且与直线AC平行,所以直线MN的方程为y=x。因为点P,M在x轴上方,所以yM>0,yP>0。由解得