专题5 第3讲 探究1 求值、证明问题(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题五 解析几何 第3讲　圆锥曲线考向探究 命|题|分|析 　　解析几何是数形结合的典范,是高中数学的主要知识板块,是高考考查的重点知识之一,在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等,多以压轴题出现。解答题的热点题型有:1.直线与圆锥曲线的位置关系。2.圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解。3.轨迹方程及探索性问题的求解。 第3讲　探究1　求值、证明问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 探究1　求值、证明问题 【典例】　(2023·苏北四市调研)设椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),离心率为,若椭圆E上的点到直线l:x=的最小距离为3-。 (1)求椭圆E的方程; (2)过F1作直线交椭圆E于A,B两点,设直线AF2,BF2与直线l分别交于C,D两点,线段AB,CD的中点分别为M,N,O为坐标原点,若M,O,N三点共线,求直线AB的方程。 第3讲　探究1　求值、证明问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)由条件知解得所以b2=a2-c2=2,所以椭圆E的方程为+=1。 (2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0),由题意知,直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my-1,联立得消去x并整理得,(2m2+3)y2-4my-4=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=。所以yM=,xM=myM-1=,所以直线OM的斜率为kOM==-。直线AF2的方程为y=(x-1),直线l的方程为x=3,则C,直线BF2的方程为y=(x-1),同理有D。所以yN=+=+=== =。所以直线ON的斜率为kON==,由M,O,N三点共线可得kOM=kON,即-=,所以m=0或m=±1。故直线AB的方程为x=-1或x-y+1=0或x+y+1=0。 第3讲　探究1　求值、证明问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　(1)注意观察题设中的每一个条件,找到能够确定线、圆锥曲线的条件。 (2)强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题。 (3)涉及直线方程时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形。 第3讲　探究1　求值、证明问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练1】　已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P。 (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若=3,求|AB|。 解　设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2)。 (1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+。又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=。由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-。从而-=,得t=-。所以l的方程为y=x-。 (2)由=3可得y1=-3y2。由可得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3。代入C的方程得x1=3,x2=。故|AB|=。 第3讲　探究1　求值、证明问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练2】　(2023·北京卷)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,A,C分别是E的上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4。 (1)求E的方程; (2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N。求证:MN//CD。 解　(1)依题意,得e==,则c=a,又A,C分别为椭圆E的上、下顶点,|AC|=4,所以2b=4,即b=2,所以a2-c2=b2=4, 即a2-a2=a2=4,则a2=9,所以椭圆E的方程为+=1。 第3讲　探究1　求值、证明问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)证明:因为椭圆E的方程为+=1,所以A(0,2),C(0,-2),B(-3,0),D(3,0), 因为P为第一象限E上的动点,设P(m,n)(0<m<3,0<n<2),则+=1, 易得kBC==-,则直线BC的方程为y=-x-2,kPD==, 则直线PD的方程为y=(x-3),联立解得即M,而kPA==,则直线PA的方程为y=x+2,令y=-2,则-2=x+2,解得x=,即N,又+=1,则m2=9-,8m2=72-18n2,所以kMN==== = ==,又kCD==,即kMN=kCD,显然,MN与CD不重合,所以MN//CD。 第3讲　探究1　求值、证明问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#›