专题4 第2讲 随机变量及其分布(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题四 概率与统计 第2讲　随机变量及其分布 命|题|分|析 　　随机变量及其分布主要以解答题形式出现。一般以现实生活中的真实情境为背景,考查离散型随机变量的分布列、期望与方差。题目阅读量大,与实际生活密切联系,有时也与函数、数列等知识综合命题。 第2讲　随机变量及其分布 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 考点整合·真题感悟 第2讲　随机变量及其分布 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 [知识提炼] 1.数学期望与方差 (1)称D(X)= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,可以度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差。 (2)均值与方差的性质: ①E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数); ②D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数)。 第2讲　随机变量及其分布 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 2.三种特殊分布 (1)二项分布。 在n重伯努利试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),那么在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk·(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p)。 (2)超几何分布。 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},此时称随机变量X服从超几何分布。超几何分布的模型是不放回抽样。 第2讲　随机变量及其分布 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 (3)正态分布。 ①正态分布的定义及表示: 如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a≤X≤b)=φμ,σ(x)dx(即x=a,x=b,正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积),则称随机变量X服从正态分布,记作X~N(μ,σ2)。 ②正态分布的三个常用数据: P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。 第2讲　随机变量及其分布 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 3.常见方法结论 (1)如果X~N(μ,σ2),那么E(X)=μ,D(X)=σ2。 (2)如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p)。 (3)如果X服从超几何分布H(N,M,n),那么E(X)=。 (4)如果X~N(μ,σ2),一定要注意准确应用3σ原则。 第2讲　随机变量及其分布 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 [真题体验] 1.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= 。  2.(2022·浙江卷)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6。从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最 小值为ξ,则P(ξ=2)=  ,E(ξ)=  。  解析　由题意可知P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14。 0.14 解析　抽取卡片上数字的最小值为2,可分为两种情况:第一种,数字为2的卡片抽1张,再从数字为3,4,5,6的卡片中抽取2张;第二种,数字为2的卡片抽2张,再从数字为3,4,5,6的卡片中抽取1张。所以P(ξ=2)===。由题意,得P(ξ=1)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=。 第2讲　随机变量及其分布 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 热点聚焦·考向探究 第2讲　随机变量及其分布 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 点击 导航 热点聚焦·考向探究 考点整合·真题感悟 考向一　分布列、均值、方差的性质及应用 【例1】　(1)(多选)设离散型随机变量X的分布列如下表:   若离散型随机变量Y=-3X+1,且E(