专题3 培优微专题 立体几何中的最值问题(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题三 立体几何 培优微专题 立体几何中的最值问题 类型一　体积最值问题 【例1】　如图,圆形纸片的圆心为O,半径为4 cm,该纸片上的正方形ABCD的中心为O,P1,P2,P3,P4为圆O上的点,△P1AB,△P2BC,△P3CD,△P4DA分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起△P1AB,△P2BC,△P3CD,△P4DA,使得P1,P2,P3,P4重合,得到四棱锥。当该四棱锥体积取得最大值时,正 方形ABCD的边长为  cm。  培优微专题　立体几何中的最值问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　连接OP2交CB于点M,则OP2⊥CB,点M为CB的中点,连接OC,△OCM为直角三角形,设正方形的边长为2x,则OM=x,由圆的半径为4,则MP2=4-x,设点P1,P2,P3,P4重合于点P,则PM=MP2=4-x>x,得x<2,高PO== ,四棱锥体积V=(2x)2=,设y=2x4-x5,则y'=8x3-5x4=x3(8-5x),当0<x<时,y'>0,y=2x4-x5单调递增;当<x<2时,y'<0,y=2x4-x5单调递减,所以当x=时,V取得最大值,此时,2x=,即正方形ABCD的边长为时,四棱锥体积取得最大值。 培优微专题　立体几何中的最值问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　对于这类问题,首先建立体积关于边长的函数,然后采用均值定理、二次函数的最值求解,若函数是高次函数,则需要利用导数的方法求解。 培优微专题　立体几何中的最值问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(多选)(2023·广东深圳月考)已知圆柱的轴截面的周长为12,圆柱的体积为V,圆柱的外接球的表面积为S,则下列结论正确的是(　 　) A.圆柱的外接球的表面积S有最大值,最大值为36π B.圆柱的外接球的表面积S有最小值,最小值为18π C.圆柱的体积V有最大值,最大值为8π D.圆柱的体积V有最小值,最小值为4π BC 解析　如图,设圆柱的底面半径为r,高为h,圆柱的外接球的半径为R,则4r+2h=12,即2r+h=6。 又2R=,0<r<3,圆柱的体积为V(r)=πr2h=πr2(6-2r)=2πr2(3-r),则V'(r)=4πr(3-r)-2πr2= 6πr(2-r),当0<r<2时,V'(r)>0,当2<r<3时,V'(r)<0,故函数V(r)=2πr2(3-r)在(0,2)上单调递增,在 (2,3)上单调递减,所以当r=2时,V(r)取得最大值8π,所以0<V≤8π。圆柱的外接球的表面积 S=4πR2=π(4r2+h2)=π[4r2+(6-2r)2]=4π(2r2-6r+9),易知S(r)=4π(2r2-6r+9)在上单调递减, 在上单调递增,所以当r=时,S(r)取得最小值18π,所以18π≤S<36π。故选BC。 培优微专题　立体几何中的最值问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　位置关系与最值 【例2】　(2023·河南焦作模拟)已知直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1=1,P为线段A1B上的动点,则AP+PC1的最小值为(　 　) A.　　 B.　　 C.　　 D. D 解析　解法一:如图①,连接BC1,将△A1BA沿A1B折到△A1BA'的位置,使得平面A1BA'与平面A1BC1共面,连接 A'C1。当P为线段A'C1与A1B的交点时,A'P+PC1最小,即AP+PC1最小。因为AB⊥AC,AA1⊥AC,AB∩AA1=A,所以AC⊥平面AA1B,所以A1C1⊥平面AA1B,所以A1C1⊥A1B,即∠C1A1B=90°。又AB=AC=AA1=1,所以A1C1=1,A'A1=1。易得△A1BA'为等腰直角三角形,所以∠A'A1B=45°,所以∠A'A1C1=90°+45°=135°。在△A1C1A'中,利用余弦定理,可知AP+PC1的最小值A'C1为=,故选D。 培优微专题　立体几何中的最值问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解法二:如图②,易知AB,AC,AA1三线两两垂直,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(0,1,1),=(1,0,-1),=(0,0,1),=(0,-1,0)。设=λ=(λ,0,-λ)(0≤λ≤1),则=+=(λ,0,1-λ),=+=(λ,-1,-λ),||+||=+= ,所求最小值可转化为平面直角坐标