专题2 培优微专题 数列中的新定义、奇偶项、公共项、计数问题(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题二 数 列 培优微专题 数列中的新定义、奇偶项、 公共项、计数问题 　　数列中的新定义、奇偶项、公共项、计数问题考法灵活,涉及的知识面宽,是高考命题的热点内容,主要考查了逻辑推理能力、分类讨论能力、函数与不等式思想。 类型一　新定义问题 【例1】　(2023·南京市、盐城市二模)在数列{an}中,若an+1-a1a2a3·…·an=d(n∈N*),则称数列{an}为“泛等差数列”,常数d称为“泛差”。已知数列{an}是一个“泛等差数列”,数列{bn}满足++…+=a1a2a3·…·an-bn。 (1)若数列{an}的“泛差”d=1,且a1,a2,a3成等差数列,求a1; (2)若数列{an}的“泛差”d=-1,且a1=,求数列{bn}的通项公式。 解　(1)因为d=1,所以an+1-a1a2a3·…·an=1(n∈N*),所以a2=a1+1,a3=a1a2+1=a1(a1+1)+1。因为a1,a2,a3成等差数列,所以2(a1+1)=a1+a1(a1+1)+1,所以=1,所以a1=1或a1=-1。 (2)因为++…+=a1a2a3·…·an-bn　①,所以++…++=a1a2a3·…·anan+1-bn+1　②,②-①得, =a1a2a3·…·anan+1-a1a2a3·…·an-(bn+1-bn)=a1a2a3·…·an(an+1-1)-(bn+1-bn)。因为an+1-a1a2a3·…·an=-1,所以a1a2a3·…·an=an+1+1,所以=(an+1+1)(an+1-1)-(bn+1-bn),所以bn+1-bn=-1。又b1=a1-=,所以bn=+(n-1)×(-1),即bn=-n+。 培优微专题　数列中的新定义、奇偶项、公共项、计数问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　本题先通过第(1)问熟悉“泛等差数列”的含义,再在第(2)问中运用bn与an的关系及“泛等差数列”的定义求bn。 培优微专题　数列中的新定义、奇偶项、公共项、计数问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,an+1-3Sn=(n∈N*),设bn=[an]([x]表示不超过x的最大整数),则数列{bn}的前2 023项和T2 023=(　 　) A. B. C. D. B 解析　an+1-3Sn=,则an-3Sn-1=(n≥2),两式相减得an+1=4an(n≥2)。当n=1时,a2-3S1=,即a2-3a1=,代入a1=,可得a2=,即a2=4a1,所以an+1=4an(n∈N*),数列{an}是以为首项,4为公比的等比数列,所以an=×4n-1=,所以bn=[an]==,所以T2 023=×[(41+42+43+…+42 023)-2 023]=×=。故选B。 培优微专题　数列中的新定义、奇偶项、公共项、计数问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　奇偶项问题 【例2】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16。 (1)求{an}的通项公式; (2)证明:当n>5时,Tn>Sn。 解　(1)设等差数列{an}的公差为d,而bn=k∈N*,则b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+2d-6,所以解得an=a1+(n-1)d=2n+3,所以数列{an}的通项公式是an=2n+3。 培优微专题　数列中的新定义、奇偶项、公共项、计数问题 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)证明:证法一:由(1)知Sn==n2+4n,bn=k∈N*,当n为偶数时,bn-1+bn=2(n-1)-3+4n+6=6n+1,Tn=·=n2+n,当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=n(n-1)>0,因此Tn>Sn。当n为奇数时, Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)2+(n+1)-[4(n+1)+6]=n2+n-5,当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=(n+2)(n-5)>0,因此 Tn>Sn。综上,当n>5时,Tn>Sn。 证法二:由(1)知Sn==n2+4n,bn=k∈N*,当n为偶数时,Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+ bn)=·+·=n2+n,当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=n(n-1)>0,因此Tn>Sn。当n为奇数时,若n≥3,则Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn-1)=·+·=n2+n-5,显然T1=b1=-1满足上式,因此当n为奇数时,Tn=n2+n-5,当n>5时