2024届高三星云二月线上调研考试数学试题

绝密★启用前 2024届高中毕业生星云二月线上调研考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则 A． B． C． D． 3．某车间有两条生产线分别生产号和号两种型号的电池，总产量为个．质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为的样本进行质量检测，已知样本中号电池有个，则估计号电池的产量为 A．个 B．个 C．个 D．个 4．在中，，，，则的面积为 A． B． C． D． 5．名同学从散打、跆拳道、击剑和太极拳四门课程中任选一门学习，则仅有跆拳道未被选中的概率为 A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，设．设甲：是增函数，乙：是增函数，则 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线关于原点对称，则 A． B． C． D． 8．新材料是现代高新技术的基础和先导，亦是提升传统产业技术能级的关键．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两相交线）的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则θ 1 2 2 空气 固体材料 水 附：椭圆上一点处的切线方程为． A． B． C． D．和的大小关系无法确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在正四棱台中，，则 A．直线与所成的角为 B．平面与平面的夹角为 C．平面 D．平面 10．设为双曲线的右焦点，为坐标原点．若圆交的右支于，两点，则 A．的焦距为 B．为定值 C．的最大值为 D．的最小值为 11．已知数列：，，，，，，，，，，，其中第项为，接下来的项为，，接下来的项为，，，再接下来的项为，，，，依此类推，则 A． B． C．存在正整数，使得，，成等比数列 D．有且仅有个不同的正整数，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 ． 13．已知函数，点在曲线上，则的取值范围是 ． 14．在四面体中，，，，，则四面体体积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）D P C A B 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，． （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值． 16．（15分） 设为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点． （1）若与有且仅有一个公共点，求的方程； （2）若与交于，两点，且，求的面积． 17．（15分） 记，分别为数列，的前项和．已知为等比数列，， ，． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和． 18．（17分） 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． （1）已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求； （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 （ⅰ）设，证明：； （ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 19．（17分） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，分别为的极大值点和极小值点，记，． （ⅰ）证明：直线与曲线交于另一点； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，判断是否存在常数，使得． 若存在，求；若不存在，说明理由． 附：，． 数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页） 数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页）